Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen

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{Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?
 
{Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?
 
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$z(t = 1 \rm \. ms) =$ { 0.5 } V
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$z(t = 1 \rm .\ ms) =$ { 0.5 } V
  
 
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Version vom 4. August 2016, 14:03 Uhr

Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal (Aufgabe A1.6)

Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation. Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt. Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von –1 ms bis 1 ms konstant gleich $k$ und außerhalb 0; an den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert. Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt =$ 2 ms.


Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet: $$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$ Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein: $$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j2 \pi}f \tau}.$$ Für die Teilaufgaben a) bis d) gelte $τ =$ 0 und damit $H(f) = H_1(f)$. Mit dem Parameter $τ =$ 0 kann hierfür auch geschrieben werden ( $Δt =$ 2 ms): $$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$ Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠$ 0 nicht anwendbar ist: $$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$


Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung, dass $H_1(f = 0) =$ 1 gelten soll.

$k =$

1/s

2

Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t =$ 0 symmetrisches Rechteck der Dauer $T =$ 2 ms und der Höhe 1 V. Es gelte $τ =$ 0. Welche Aussagen sind zutreffend?

$y(t)$ ist rechteckförmig.
$y(t)$ ist dreieckförmig.
$y(t)$ ist trapezförmig.
Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.

3

Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite $T =$ 1 ms besitzt?

$y(t)$ ist rechteckförmig.
$y(t)$ ist dreieckförmig.
$y(t)$ ist trapezförmig.
Der Maximalwert von $y(t)$ ist 1 V.

4

Es gelte weiter $τ =$ 0. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t =$ 0 von 0 auf 1 V springt. Welche Aussagen treffen zu?

$z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.
$z(t)$ weist bei $t =$ 0 eine Sprungstelle auf.
Zum Zeitpunkt $t =$ 0 ist $z(t) =$ 0.
Für $t >$ 1 ms ist $z(t) =$ 0.

5

Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit $τ =$ 1 ms ist? Welcher Signalwert tritt bei $t =$ 1 ms auf?

$z(t = 1 \rm .\ ms) =$

V


Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.