Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Summe zweier Ternärsignale: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 13. Oktober 2016, 14:01 Uhr
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte –1, 0 und +1 annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig. Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$. Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte –1, 0 und +1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, während bei der Quelle $Y$ der Signalwert 0 doppelt so wahrscheinlich ist wie die beiden anderen Werte –1 bzw. +1.
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Stoff von Kapitel 1.1. Der Inhalt dieses Abschnitts ist im nachfolgenden Lernvideo zusammengefasst:
Fragebogen
Musterlösung
- 1.Da die Wahrscheinlichkeiten von ±1 gleich sind und $Pr(Y = 0) = 2 * Pr(Y = 1)$ gilt, erhält man:
$Pr(Y = 1) + Pr(Y = 0) + Pr(Y = -1) = 1$
$ \Rightarrow 1/2*Pr(Y = 0) + Pr(Y = 0) + 1/2*Pr(Y = 0) = 1$
$ \Rightarrow PR(Y = 0) = 1/2 $
- 2. $S$ kann insgesamt 5 Werte annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2
- 3.Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.
Teilt man $Y$ jedoch gemäß dem Bild in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:
$Pr(S = 0) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$,
$Pr(S = -1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
$Pr(S = +1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
$Pr(S = -2) = \frac{1}{12}, Pr(S = +2) = \frac{1}{12}$
$\Rightarrow Pr(S = S_\max) = 1/12 = 0.0833$.
- 4. Aus obiger Darstellung ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da $Pr(Y = +1)$ gleich $Pr(Y = –1)$ vorgegeben ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.