Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Error Performance: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | *Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens 99.8% aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen. | |
− | + | *Bei einer Bitrate von 64 kbit/s entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als 64 Bitfehler auftreten dürfen: | |
:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$ | :$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$ | ||
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]]. | ||
+ | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
+ | *Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$. | ||
+ | *In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4). | ||
Version vom 13. März 2017, 16:55 Uhr
Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen Error Performance spezifiziert sind.
Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:
- Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens 99.8% aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.
- Bei einer Bitrate von 64 kbit/s entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als 64 Bitfehler auftreten dürfen:
- $$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgröße.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
- In der Aufgabe 3.7 wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Beide Aussagen sind richtig. Bei f handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße, nämlich der Summe über N Binärwerte (0 oder 1). Da das Produkt N · p = 64 und dadurch sehr viel größer als 1 ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate λ = 64 angenähert werden.
- 2. Der Mittelwert ergibt sich zu mf = N · p = 64 unabhängig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.
- 3. Für die Streuung erhält man:
- $$\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$$
- Der Fehler durch Anwendung der Poisson– anstelle der Binomialverteilung ist kleiner als 0.0005.
- 4. Bei einer Gaußschen Zufallsgröße f mit Mittelwert 64 ist die Wahrscheinlichkeit Pr(f ≤ 64) etwa 50%. Anmerkung: Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt 0.5. Da f nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.
- 5. Mit λ = N · p lautet die entsprechende Bedingung:
- $$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
- Der Maximalwert von λ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
- $$\it \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
- Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:
- $$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68.$$
- Daraus folgt direkt λ = 44.6 und pmax = 0.69 · 10 –3. Die zweite Lösung obiger Gleichung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.