Digitalsignalübertragung/Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation: Unterschied zwischen den Versionen
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Wie im Kapitel 4.2 des Buches „Modulationsverfahren” gelten auch hier folgende Voraussetzungen: | Wie im Kapitel 4.2 des Buches „Modulationsverfahren” gelten auch hier folgende Voraussetzungen: | ||
| − | *Die Demodulation geschieht stets | + | *Die Demodulation geschieht stets kohärent. Das heißt: Beim Empfänger wird ein Trägersignal mit gleicher Frequenz wie beim Sender zugesetzt, aber mit doppelter Amplitude. Der Phasenversatz sei zunächst Δ<i>ϕ</i><sub>T</sub> = 0.<br> |
*Bei BPSK wird von den bipolaren Amplitudenkoeffizienten <i>a<sub>ν</sub></i> ∈ {–1, +1} ausgegangen und die Entscheiderschwelle liegt bei <i>E</i> = 0. Dagegen gilt bei ASK <i>a<sub>ν</sub></i> ∈ {0, 1}. Die Entscheiderschwelle <i>E</i> ist für diesen unipolaren Fall bestmöglich zu wählen.<br> | *Bei BPSK wird von den bipolaren Amplitudenkoeffizienten <i>a<sub>ν</sub></i> ∈ {–1, +1} ausgegangen und die Entscheiderschwelle liegt bei <i>E</i> = 0. Dagegen gilt bei ASK <i>a<sub>ν</sub></i> ∈ {0, 1}. Die Entscheiderschwelle <i>E</i> ist für diesen unipolaren Fall bestmöglich zu wählen.<br> | ||
*Wir betrachten stets den AWGN–Kanal, das heißt, dass für den Kanalfrequenzgang <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) = 1 gilt und <i>n</i>(<i>t</i>) weißes Gaußsches Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte <i>N</i><sub>0</sub> darstellt.<br> | *Wir betrachten stets den AWGN–Kanal, das heißt, dass für den Kanalfrequenzgang <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) = 1 gilt und <i>n</i>(<i>t</i>) weißes Gaußsches Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte <i>N</i><sub>0</sub> darstellt.<br> | ||
*Die Entzerrung linearer Kanalverzerrungen – also der Fall <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) ≠ const. – ist in gleicher Weise möglich wie bei der Basisbandübertragung. Hierzu sei auf das Kapitel 3.3 verwiesen.<br> | *Die Entzerrung linearer Kanalverzerrungen – also der Fall <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) ≠ const. – ist in gleicher Weise möglich wie bei der Basisbandübertragung. Hierzu sei auf das Kapitel 3.3 verwiesen.<br> | ||
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| + | == Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK–Systems (1) == | ||
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| + | Wir gehen zunächst von einem bipolaren rechteckförmigen Quellensignal <i>q</i>(<i>t</i>) mit der Amplitude ±<i>s</i><sub>0</sub> aus. Dessen normiertes Spektrum lautet: <i>H</i><sub>S</sub>(<i>f</i>) = si(π<i>fT</i>). Ebenso wie bei der [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Systemkomponenten_eines_Basisband%C3%BCbertragungssystems#Vereinfachtes_Systemmodell Basisbandübertragung] ergibt sich die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das Empfangsfilter <i>H</i><sub>E</sub>(<i>f</i>) = <i>H</i><sub>S</sub><sup>∗</sup>(<i>f</i>) = si(π<i>fT</i>). <br> | ||
| + | Die [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#Demodulation_und_Detektion_von_BPSK.E2.80.93Signalen Signalverläufe] des BPSK–Systems mit Matched–Filter–Empfänger zeigen: | ||
| + | *Das Detektionsnutzsignal <i>d</i><sub>S</sub>(<i>t</i>) – also ohne Rauschanteil – ist zu allen Detektionszeitpunkten <i>ν</i><i>T</i> stets ±<i>s</i><sub>0</sub>, wobei das Vorzeichen durch die Amplitudenkoeffizienten <i>a<sub>ν</sub></i> festgelegt sind.<br> | ||
| + | *Wie beim vergleichbaren Basisbandsystem beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit <nobr><i>p</i><sub>B</sub> = Q(<i>s</i><sub>0</sub>/<i>σ<sub>d</sub></i>),</nobr> wobei Q(<i>x</i>) [https://intern.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=block&b_id=1706&hyperlink_typ=block_verweis&hyperlink_fenstergroesse=blockverweis_gross das komplementäre Gaußsche Fehlerintergral Please add link] bezeichnet.<br> | ||
| + | *Unterschiedlich zum Basisbandsystem ist jedoch die Rauschleistung. Der Rauschanteil <i>b</i><sub>N</sub>(<i>t</i>) ergibt sich durch die Multiplikation des Bandpassrauschens <i>n</i>(<i>t</i>) mit dem Träger 2 · cos(2π <i>f</i><sub>T</sub> <i>t</i>) und besitzt die Rauschleistungsdichte | ||
| + | ::<math>{{\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)}={{\it \Phi}_{n}(f)}\star \left[ 1^2 | ||
| + | \cdot \delta ( f - f_{\rm T})+ 1^2 \cdot \delta ( f + f_{\rm | ||
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| + | *Die nachfolgende Grafik verdeutlicht diese Gleichung am Beispiel von bandbegrenztem weißen Rauschen mit der Bandbreite <i>B<sub>n</sub></i>. Während <i>Φ<sub>n</sub></i>(<i>f</i> = <i>f</i><sub>T</sub>) gleich <i>N</i><sub>0</sub>/2 gilt, ist <i>Φ<sub>b</sub></i><sub>N</sub>(<i>f</i> = 0) = <i>N</i><sub>0</sub>. Die Anteile um ±2<i>f</i><sub>T</sub> werden durch das nachfolgende Empfangsfilter <i>H</i><sub>E</sub>(<i>f</i>) eliminiert und spielen für die weiteren Betrachtungen keine Rolle. | ||
| + | <br><br>[[Datei:P_ID1679__Dig_T_4_1_S2a_v1.png|Rauschleistungsdichten vor und nach der empfangsseitigen Multiplikation des Trägers|class=fit]]<br><br> | ||
| + | *Bei echt weißem Rauschen gilt mit dem Grenzübergang <i>B<sub>n</sub></i> → ∞ : | ||
| + | <math>{{\it \Phi}_{n}(f)}={N_0}/{2}, \hspace{0.3cm}{{\it | ||
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Version vom 19. Dezember 2016, 16:57 Uhr
Gemeinsames Blockschaltbild für ASK und BPSK
Im Kapitel 4.2 des Buches „Modulationsverfahren” wurden die digitalen Trägerfrequenzsysteme ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) bereits ausführlich beschrieben. In diesem Kapitel wird nun die Fehlerwahrscheinlichkeit dieser Systeme berechnet, wobei von dem folgenden gemeinsamen Blockschaltbild ausgegangen wird:
Wie im Kapitel 4.2 des Buches „Modulationsverfahren” gelten auch hier folgende Voraussetzungen:
- Die Demodulation geschieht stets kohärent. Das heißt: Beim Empfänger wird ein Trägersignal mit gleicher Frequenz wie beim Sender zugesetzt, aber mit doppelter Amplitude. Der Phasenversatz sei zunächst ΔϕT = 0.
- Bei BPSK wird von den bipolaren Amplitudenkoeffizienten aν ∈ {–1, +1} ausgegangen und die Entscheiderschwelle liegt bei E = 0. Dagegen gilt bei ASK aν ∈ {0, 1}. Die Entscheiderschwelle E ist für diesen unipolaren Fall bestmöglich zu wählen.
- Wir betrachten stets den AWGN–Kanal, das heißt, dass für den Kanalfrequenzgang HK(f) = 1 gilt und n(t) weißes Gaußsches Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte N0 darstellt.
- Die Entzerrung linearer Kanalverzerrungen – also der Fall HK(f) ≠ const. – ist in gleicher Weise möglich wie bei der Basisbandübertragung. Hierzu sei auf das Kapitel 3.3 verwiesen.
Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK–Systems (1)
Wir gehen zunächst von einem bipolaren rechteckförmigen Quellensignal q(t) mit der Amplitude ±s0 aus. Dessen normiertes Spektrum lautet: HS(f) = si(πfT). Ebenso wie bei der Basisbandübertragung ergibt sich die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das Empfangsfilter HE(f) = HS∗(f) = si(πfT).
Die Signalverläufe des BPSK–Systems mit Matched–Filter–Empfänger zeigen:
- Das Detektionsnutzsignal dS(t) – also ohne Rauschanteil – ist zu allen Detektionszeitpunkten νT stets ±s0, wobei das Vorzeichen durch die Amplitudenkoeffizienten aν festgelegt sind.
- Wie beim vergleichbaren Basisbandsystem beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit <nobr>pB = Q(s0/σd),</nobr> wobei Q(x) das komplementäre Gaußsche Fehlerintergral Please add link bezeichnet.
- Unterschiedlich zum Basisbandsystem ist jedoch die Rauschleistung. Der Rauschanteil bN(t) ergibt sich durch die Multiplikation des Bandpassrauschens n(t) mit dem Träger 2 · cos(2π fT t) und besitzt die Rauschleistungsdichte
- \[{{\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)}={{\it \Phi}_{n}(f)}\star \left[ 1^2 \cdot \delta ( f - f_{\rm T})+ 1^2 \cdot \delta ( f + f_{\rm T})\right].\]
- Die nachfolgende Grafik verdeutlicht diese Gleichung am Beispiel von bandbegrenztem weißen Rauschen mit der Bandbreite Bn. Während Φn(f = fT) gleich N0/2 gilt, ist ΦbN(f = 0) = N0. Die Anteile um ±2fT werden durch das nachfolgende Empfangsfilter HE(f) eliminiert und spielen für die weiteren Betrachtungen keine Rolle.
- Bei echt weißem Rauschen gilt mit dem Grenzübergang Bn → ∞ \[{{\it \Phi}_{n}(f)}={N_0}/{2}, \hspace{0.3cm}{{\it
\Phi}_{b{\rm N}}(f)}={N_0}.\]
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[[Datei:||class=fit]]
