Digitalsignalübertragung/Lineare Nyquistentzerrung: Unterschied zwischen den Versionen

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*Wir bezeichnen die Konfiguration als  Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch &ndash; und besonders effektiv &ndash; bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst <i>M</i> = 2.<br><br>
 
*Wir bezeichnen die Konfiguration als  Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch &ndash; und besonders effektiv &ndash; bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst <i>M</i> = 2.<br><br>
  
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== Wirkungsweise des Transversalfilters (1) ==
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Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters
  
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:<math>H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ
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h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T)
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<i>N</i> gibt die Ordnung des Filters an. Für die Filterkoeffizienten gilt <i>k</i><sub>&ndash;&lambda;</sub> = <i>k</i><sub>&lambda;</sub>. Dieses Filter ist somit durch die Koeffizienten <i>k</i><sub>0</sub>, ... , <i>k<sub>N</sub></i> vollständig bestimmt. Die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung (<i>N</i> = 2).<br>
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[[Datei:P ID1424 Dig T 3 5 S2 version2.png|Transversalfilter als Teil des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]]<br>
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Für den Eingangsimpuls <i>g<sub>m</sub></i>(<i>t</i>) setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser
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*symmetrisch um <i>t</i> = 0 ist (Ausgang des Matched&ndash;Filters),<br>
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*zu den Zeiten <i>&nu;</i><i>T</i> und &ndash;<i>&nu;</i><i>T</i> den Wert <i>g<sub>m</sub></i>(<i>&nu;</i>) besitzt.<br><br>
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Damit sind die Eingangsimpulswerte:
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:<math>...\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace
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... \hspace{0.05cm}.</math>
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Für den Detektionsgrundimpuls <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i>) am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten <i>&nu;</i><i>T</i> mit den Abkürzungen <i>g</i><sub>0</sub> = <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i> = 0), <i>g</i><sub>1</sub> = <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i> = &plusmn;<i>T</i>), <i>g</i><sub>2</sub> = <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i> = &plusmn;2<i>T</i>) folgende Werte:
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:<math>t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0  =  k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2
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\cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm}</math>
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:<math>t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1  =  k_0 \cdot g_m(1) + k_1
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\cdot [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3)],</math>
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:<math>t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2  =  k_0 \cdot g_m(2) + k_1
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\cdot [g_m(1)+g_m(3)]+ k_2  \cdot [g_m(2)+g_m(4)]
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Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten <i>k</i><sub>0</sub>, <i>k</i><sub>1</sub> und <i>k</i><sub>2</sub> so bestimmen, dass der Detektionsgrundimpuls <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i>) durch die normierten Stützstellen
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:<math>...\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0
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,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2
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= 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} ...</math>
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vollständig gegeben ist. Auf der nächsten Seite wird die Optimierung der Filterkoeffizienten an einem einfachen Beispiel verdeutlicht.<br>
  
  

Version vom 26. Dezember 2016, 21:43 Uhr

Struktur des optimalen Nyquistentzerrers


In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus.

Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers

Hierzu ist anzumerken:

  • Die Diracquelle liefert die zu übertragende Nachricht (Amplitudenkoeffizienten aν) in binärer bipolarer Form. Sie wird als redundanzfrei vorausgesetzt.
  • Die Sendeimpulsform gs(t) wird durch den Senderfrequenzgang HS(f) berücksichtigt. Bei allen Beispielen ist HS(f) = si(π f T) zugrunde gelegt.
  • Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal – hierfür wird meist ein Koaxialkabel angenommen – durch den gemeinsamen Frequenzgang HSK(f) = HS(f) · HK(f) zusammengefasst.
  • Das Empfangsfilter HE(f) setzt sich multiplikativ aus dem Matched–Filter HMF(f) = HSK(f) und dem Transversalfilter HTF(f) zusammen, zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.
  • Der Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Schwellenwertentscheider soll die erste Nyquistbedingung erfüllen. Es muss also gelten:
\[H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = H_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.05cm}.\]
  • Mit dieser Bedingung ergibt sich die maximale Augenöffnung (keine Impulsinterferenzen). Deshalb gelten für das Detektions–SNR und den Systemwirkungsgrad bei binärer Signalisierung:
\[\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}} = \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0} = \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.05cm}.\]
  • Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf, das Empfangsfilter HE(f) so zu bestimmen, dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:
\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ T} =T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]
  • Wir bezeichnen die Konfiguration als Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch – und besonders effektiv – bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst M = 2.

Wirkungsweise des Transversalfilters (1)


Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters

\[H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]

N gibt die Ordnung des Filters an. Für die Filterkoeffizienten gilt k–λ = kλ. Dieses Filter ist somit durch die Koeffizienten k0, ... , kN vollständig bestimmt. Die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung (N = 2).

Transversalfilter als Teil des optimalen Nyquistentzerrers

Für den Eingangsimpuls gm(t) setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser

  • symmetrisch um t = 0 ist (Ausgang des Matched–Filters),
  • zu den Zeiten νT und –νT den Wert gm(ν) besitzt.

Damit sind die Eingangsimpulswerte:

\[...\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace {0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm} ... \hspace{0.05cm}.\]

Für den Detektionsgrundimpuls gd(t) am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten νT mit den Abkürzungen g0 = gd(t = 0), g1 = gd(t = ±T), g2 = gd(t = ±2T) folgende Werte:

\[t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2 \cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm}\] \[t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot g_m(1) + k_1 \cdot [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3)],\] \[t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot g_m(2) + k_1 \cdot [g_m(1)+g_m(3)]+ k_2 \cdot [g_m(2)+g_m(4)] \hspace{0.05cm}.\]

Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten k0, k1 und k2 so bestimmen, dass der Detektionsgrundimpuls gd(t) durch die normierten Stützstellen

\[...\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} ...\]

vollständig gegeben ist. Auf der nächsten Seite wird die Optimierung der Filterkoeffizienten an einem einfachen Beispiel verdeutlicht.