Aufgaben:Aufgabe 5.8: Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten die in der Grafik hinterlegten Blöcke eines OFDM–Systems, wobei wir von einem System mit N = 4 Trägern und einem Kanal mit L = 2 Echos ausgehen. Es wird nur ein einziger Rahmen betrachtet und für den Sendevektor (im Zeitbereich) gelte: | + | Wir betrachten die in der Grafik hinterlegten Blöcke eines OFDM–Systems, wobei wir von einem System mit $N = 4$ Trägern und einem Kanal mit $L = 2$ Echos ausgehen. |
| − | $${\rm\bf{d}} = (d_0, d_1,d_2,d_3 ) = (+1, -1, +1, -1 ).$$ | + | *Es wird nur ein einziger Rahmen betrachtet und für den Sendevektor (im Zeitbereich) gelte: |
| − | Die Kanalimpulsantwort sei beschrieben durch | + | :$${\rm\bf{d}} = (d_0, d_1,d_2,d_3 ) = (+1, -1, +1, -1 ).$$ |
| − | $${\rm\bf{h}} = (h_0, h_1,h_2 ) = (0, 0.6, 0.4 ).$$ | + | *Die Kanalimpulsantwort sei beschrieben durch |
| − | Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir in dieser Aufgabe statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix $H_{ext}$ die zyklische Übertragungsmatrix | + | :$${\rm\bf{h}} = (h_0, h_1,h_2 ) = (0, 0.6, 0.4 ).$$ |
| − | $${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right).$$ | + | *Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir in dieser Aufgabe statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix $H_{ext}$ die zyklische Übertragungsmatrix |
| − | Für die Spektralkoeffizienten am Empfänger gelte nach der Diskreten Fouriertransformation (DFT): | + | :$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right).$$ |
| − | $${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) ,$$ | + | *Für die Spektralkoeffizienten am Empfänger gelte nach der Diskreten Fouriertransformation (DFT): |
| − | wobei die Diagonalelemente wie folgt zu berechnen sind: | + | :$${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) ,$$ |
| − | $$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\mu }/{4}} } .$$ | + | :wobei die Diagonalelemente wie folgt zu berechnen sind: |
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]]. | ||
| + | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]] im Buch „Signaldarstellung”. | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
| + | *Für die Diskrete Fouriertransformation (DFT) gilt in Matrix–Vektor–Notation: | ||
| + | :$${\rm\bf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & {} & {} & {} \\ \vdots & {} & {{\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}{\kern 1pt} \nu {\kern 1pt} \mu /N} } & {} \\ 1 & {} & {} & {} \\ \end{array}} \right), \qquad {\rm{DFT\; mit}} \; {1}/{N} \cdot {\rm\bf{F}}; \qquad {\rm{IDFT \; mit}} \; {\rm\bf{F}}^*.$$ | ||
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| − | {Berechnen Sie die diskreten | + | {Berechnen Sie die diskreten Empfangswerte $r = (r_0, r_1, r_2, r_3)$ im Zeitbereich. Geben Sie zur Kontrolle $r_0$ und $r_1$ ein: |
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| − | {Wie lauten die diskreten Spektralbereichskoeffizienten | + | {Wie lauten die diskreten Spektralbereichskoeffizienten ${\rm\bf{D}}= (D_0, D_1, D_2, D_3)$ am Sender? Geben Sie zur Kontrolle $D_2$ und $D_3$ ein. |
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| − | Re | + | ${\rm Re}[D_2] \ = \ $ { 1 3% } |
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| − | Im | + | ${\rm Im}[D_3] \ = \ $ { 0. } |
| − | {Berechnen Sie die diskreten Spektralkoeffizienten | + | {Berechnen Sie die diskreten Spektralkoeffizienten ${\rm\bf{R}}= (R_0, R_1, R_2, R_3)$ nach dem Kanal. Geben Sie zur Kontrolle $R_2$ und $R_3$ ein: |
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| − | Re | + | ${\rm Re}[R_2] \ = \ $ { -0.202--0.198 } |
| − | Im | + | {\rm Im}[R_2] \ = \ $ { 0. } |
| − | Re | + | {\rm Re}[R_3] \ = \ $ { 0. } |
| − | Im | + | {\rm Im}[R_2] \ = \ $ { 0. } |
| − | { Bestimmen Sie die diskreten Entzerrerkoeffizienten | + | { Bestimmen Sie die diskreten Entzerrerkoeffizienten ${\rm\bf{e}}= (e_0, e_1, e_2, e_3)$: |
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| − | Re | + | ${\rm Re}[e_0] \ = \ $ { 1 1% } |
| − | Im | + | ${\rm Im}[e_0] \ = \ $ { 0. } |
| − | Re | + | ${\rm Re}[e_1] \ = \ $ { -0.78--0.76 } |
| − | Im | + | ${\rm Im}[e_1] \ = \ ${ 1.15 1% } |
| − | Re | + | ${\rm Re}[e_2] \ = \ $ { -5.05--4.95 } |
| − | Im | + | ${\rm Im}[e_2] \ = \ $ { 0. } |
| − | Re | + | ${\rm Re}[e_3] \ = \ $ {-0.78--0.76 } |
| − | Im | + | ${\rm Im}[e_3] \ = \ $ { -1.16--1.14 } |
{Wie bezeichnet man den verwendeten Entzerrungsansatz? | {Wie bezeichnet man den verwendeten Entzerrungsansatz? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + | + | + Als „Zero Forcing”–Ansatz, |
- als „Matched Filter”–Ansatz, | - als „Matched Filter”–Ansatz, | ||
- als „Minimum Mean Square Error (MMSE)”–Ansatz. | - als „Minimum Mean Square Error (MMSE)”–Ansatz. | ||
Version vom 7. August 2017, 15:07 Uhr
Blockschaltbild der OFDM-Übertragung
Wir betrachten die in der Grafik hinterlegten Blöcke eines OFDM–Systems, wobei wir von einem System mit $N = 4$ Trägern und einem Kanal mit $L = 2$ Echos ausgehen.
- Es wird nur ein einziger Rahmen betrachtet und für den Sendevektor (im Zeitbereich) gelte:
- $${\rm\bf{d}} = (d_0, d_1,d_2,d_3 ) = (+1, -1, +1, -1 ).$$
- Die Kanalimpulsantwort sei beschrieben durch
- $${\rm\bf{h}} = (h_0, h_1,h_2 ) = (0, 0.6, 0.4 ).$$
- Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir in dieser Aufgabe statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix $H_{ext}$ die zyklische Übertragungsmatrix
- $${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right).$$
- Für die Spektralkoeffizienten am Empfänger gelte nach der Diskreten Fouriertransformation (DFT):
- $${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) ,$$
- wobei die Diagonalelemente wie folgt zu berechnen sind:
- $$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\mu }/{4}} } .$$
- Die Entzerrung am Empfänger erfolgt durch Multiplikation im Frequenzbereich mit den Koeffizienten $ e_\mu = {1}/{H_\mu }.$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Realisierung von OFDM-Systemen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Diskrete Fouriertransformation im Buch „Signaldarstellung”.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Für die Diskrete Fouriertransformation (DFT) gilt in Matrix–Vektor–Notation:
- $${\rm\bf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & {} & {} & {} \\ \vdots & {} & {{\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}{\kern 1pt} \nu {\kern 1pt} \mu /N} } & {} \\ 1 & {} & {} & {} \\ \end{array}} \right), \qquad {\rm{DFT\; mit}} \; {1}/{N} \cdot {\rm\bf{F}}; \qquad {\rm{IDFT \; mit}} \; {\rm\bf{F}}^*.$$
Fragebogen
Musterlösung
1. Die diskreten Zeitbereichswerte am Empfänger berechnen sich mit der zyklischen Übertragungsmatrix $H_C$ wie folgt:
$${\rm\bf{r}} = {\rm\bf{d}} \cdot {\rm\bf{H_C}} = \left( {+1 ,-1 ,+1 ,-1 } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {0 } & {0.6 } & {0.4 } & {} \\ {} & {0 } & {0.6 } & {0.4 } \\ \hline {0.4 } & {} & {0 } & {0.6 } \\ {0.6 } & {0.4 } & {} & {0 } \\ \end{array}} \right)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm\bf{r}} = \left( {r_0 ,r_1 ,r_2 ,r_3 } \right) = \left( {-0.2, +0.2,-0.2, +0.2} \right) .$$
Damit sind alle Empfangswerte r0 = –0.2, r1 = +0.2, r2 = –0.2 und r3 = +0.2 rein reell.
2. Die Spektralkoeffizienten D ergeben sich direkt aus der Diskreten Fouriertransformation (DFT) der Zeitbereichskoeffizienten d = (+1, –1, +1, –1). Diese Zeitbereichsfolge entspricht einer diskreten Cosinusfunktion mit der doppelten Grundfrequnz (2 · f0) und der Amplitude 1. Daraus folgt: $${\rm\bf{D}} = \left( {D_0 ,D_1 ,D_2 ,D_3 } \right) \hspace{0.15cm} \underline{=\left( {0, 0,1, 0} \right)} .$$
3. Der Vektor R der Spektralkoeffizienten nach dem Kanal könnte analog zur Teilaufgabe b) durch die DFT des Vektors r berechnet werden. Ein alternativer Lösungsweg lautet: $${\rm\bf{R}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) .$$ Für die Diagonalelemente erhält man: $$H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi }} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} l \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\mu }/{4}} }$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H_0 = 1,\hspace{0.1cm}H_1 = -0.4 - {\rm{j}} \cdot 0.6,\hspace{0.1cm}H_2 = -0.2,\hspace{0.1cm}H_3 = -0.4 + {\rm{j}} \cdot 0.6 $$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm\bf{R}} = \left( {R_0 ,R_1 ,R_2 ,R_3 } \right) \hspace{0.15cm} \underline{= \left( {\hspace{0.15cm}0,\hspace{0.15cm}0,-0.2, \hspace{0.15cm}0} \right)} .$$
4. Die Entzerrerkoeffizienten ergeben sich zu eμ = 1/Hμ. Mit dem Ergebnis zu Teilaufgabe c) sind die Koeffizienten e0 = 1 und e2 = –5 reell, während für μ = 1, μ = 3 gilt: $$e_1 = \frac {1}{-0.4 - {\rm{j}} \cdot 0.6}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm{Re}}[e_1] = \frac {-0.4}{0.4^2 + 0.6^2}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx -0.77},\hspace{0.3cm} {\rm{Im}}[e_1] = \frac {0.6}{0.4^2 + 0.6^2} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.15},$$ $$e_3 = \frac {1}{-0.4 + {\rm{j}} \cdot 0.6}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm{Re}}[e_3] = \frac {-0.4}{0.4^2 + 0.6^2}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx -0.77},\hspace{0.3cm} {\rm{Im}}[e_3] = \frac {-0.6}{0.4^2 + 0.6^2} \hspace{0.15cm} \underline{\approx -1.15}.$$ 5. Die unter d) berechnete Entzerrung folgt dem „Zero Forcing”–Ansatz.
