Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Linear verzerrendes System

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Zur Herleitung der Verzerrungen bei Rechtecksignalen

Modulator, Kanal und Demodulator einer Einrichtung zur Nachrichtenübertragung können durch ein einziges lineares System mit dem Frequenzgang

$$ H(f) = {\rm si }( \pi \cdot f \cdot \Delta t)$$

beschrieben werden. Die dazugehörige Impulsantwort ist rechteckförmig, symmetrisch um $t = 0$ und weist die Höhe $1/Δt$ sowie die (äquivalente) Dauer $Δt$ auf:

$$ h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/\Delta t \\ 1/(2\Delta t) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{4}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$

Es handelt sich um einen Spalttiefpass, der im Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” eingehend behandelt wurde.

Am Systemeingang liegt das periodische Rechtecksignal $q(t)$ mit der Periodendauer $T_0$ an. Die Dauer der einzelnen Rechtecke und die der Lücken sind somit jeweils $T_0/2$. Die Höhe der Rechtecke beträgt $2\ \rm V$.

Das Signal $v(t)$ am Systemausgang wird als Sinkensignal bezeichnet. Dieses ist für zwei verschiedene Parameterwerte der äquivalenten Impulsdauer in der Grafik dargestellt:

• Das Signal $v_1(t)$ ergibt sich, wenn die äquivalente Impulsdauer von $h(t)$ genau $Δt_1$ ist.
• Entsprechend ergibt sich das Signal $v_2(t)$ mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt_2$.

Die Veränderung vom Rechtecksignal $q(t)$ zum dreieck- bzw. trapezförmigen Sinkensignal $v(t)$ ist auf lineare Verzerrungen zurückzuführen und wird durch das Fehlersignal $ε(t) = v(t) – q(t)$ erfasst. Mit den Leistungen $P_q$ und $P_ε$ der Signale $q(t)$ und $ε(t)$ kann das Sinken–SNR berechnet werden:

$$\rho_{v} =P_{q}/{P_{\varepsilon }} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Qualitätskriterien.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis und auf das Kapitel Lineare Verzerrungen im Buch „Lineare zeitinvariante Systeme”.
• Die Leistungen $P_q$ und $P_ε$ sind die quadratischen Mittelwerte der Signale $q(t)$ und $ε(t)$ und können bei periodischen Signalen mit der Periodendauer $T_0$ wie folgt ermittelt werden:

$$P_{q} = \overline{q(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {q(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {\varepsilon(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer $Δt_1$ innerhalb des Signals $v_1(t)$, bezogen auf die Periode $T_0$?

$Δt_1/T_0 \ = \ $

2

Wie groß ist der Maximalwert des Fehlersignals $ε_1(t) = v_1(t) – q(t)$?

$ε_\text{1, max} \ = \ $ $\ \rm V$

3

Wie groß ist die „Leistung” $P_{ε1}$ des Fehlersignals, also die mittlere quadratische Abweichung zwischen $v_1(t)$ und $q(t)$?

$P_{ε1} \ = \ $ $\ \rm V^2$

4

Berechnen Sie die Nutzleistung $P_q$ und das Sinken–SNR $ρ_{v1}$.

$P_q\ = \ $ $V^{ 2 }$

$ρ_{v1} \ = \ $

5

Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer $Δt_2$ innerhalb des Signals $v_2(t)$, bezogen auf die Periode $T_0$?

$Δt_2/T_0 \ = \ $

6

Ermitteln Sie das Fehlersignal $ε_2(t) = v_2(t) – q(t)$, die Verzerrungsleistung $P_{ε2}$ und das Sinken–$\text{SNR} $ρ_{v2}$.

$P_{ε2} \ = \ $ $\ \rm V^2$

$ρ_{v2} \ = \ $

7

Verallgemeinern Sie Ihre Ergebnisse für eine beliebige äquivalente Impulsdauer $Δt$. Welches Sinken–SNR $ρ_{v3}$ ergibt sich für $Δt_3 = T_0/20$?

$ρ_{v3} \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

1.Allgemein gilt $υ(t) = q(t) ∗ h(t)$. Die Faltung des periodischen Rechtecksignals $q(t)$ mit der ebenfalls rechteckförmigen Impulsantwort $h(t)$ liefert nur dann ein Dreiecksignal $υ(t)$, wenn die miteinander gefalteten Rechtecke gleiche Breite haben. Daraus folgt: $$\Delta t_1 = T_0 /2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta t_1 / T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

2. Das Fehlersignal $ε_1(t)$ ist in der Grafik dargestellt. Man erkennt, dass $ε_1(t)$ alle Werte zwischen ±1 V annehmen kann: $${\varepsilon}_{\rm 1, max} \hspace{0.15cm}\underline {= {1}\;{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

3.Es genügt die Mittelung über den Zeitbereich von 0 bis $T_0/4$, da alle anderen Teilintervalle genau gleiche Beiträge liefern: $$P_{\varepsilon{\rm 1}} = \frac{1}{T_{\rm 0}/4} \cdot \int\limits_{0}^{ T_{\rm 0}/4} {\varepsilon_1(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{1 \,{\rm V}^2}{T_{\rm 0}/4} \cdot \int\limits_{0}^{ T_{\rm 0}/4} {\left( 1 - \frac{t}{T_{\rm 0}/4}\right)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$ Mit der Substitution $x = 4 · t/T_0$ kann hierfür auch geschrieben werden: $$P_{\varepsilon{\rm 1}} = 1 \,{\rm V}^2 \cdot \int\limits_{0}^{ 1} {\left( 1 - 2x + x^2\right)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}= 1 \,{\rm V}^2 \cdot \left( 1 - 1 + \frac{1}{3}\right)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333} \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$

4.Die Mittelung über eine Periode des quadrierten Quellensignals liefert: $$P_{q} = \frac{1}{T_0} \cdot \left[(2\,{\rm V})^2 \cdot \frac{T_0}{2}+(0\,{\rm V})^2 \cdot \frac{T_0}{2} \right]\hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V^2}}\hspace{0.05cm}.$$ Das Sinken–SNR beträgt somit $$\rho_{v{\rm 1}} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon {\rm 1}}} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{0.333 \,{\rm V}^2}\hspace{0.15cm}\underline {= 6} \hspace{0.05cm}.$$ 5.Entsprechend der Skizze auf dem Angabenblatt wird nun aus einem Rechteck der Dauer $T_0/2$ ein Trapez der absoluten Dauer $0.75 · T_0$. Damit ist nach den Gesetzen der Faltung offensichtlich, dass die äquivalente Impulsdauer $Δt_2 = 0.25 · T_0$ sein muss.

6. Die obige Grafik zeigt, dass sich $ε_2(t)$ ebenso wie $ε_1(t)$ innerhalb einer Periodendauer $T_0$ aus vier Dreiecken zusammensetzt, doch sind diese nur halb so breit. In der Hälfte der Zeit ist $ε_2(t) = 0$. Wegen $ε_{2,max} = ε_{1,max} = 1 V$ erhält man: $$P_{\varepsilon{\rm 2}} = \frac{P_{\varepsilon{\rm 1}}}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.167} \,{\rm V}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v{\rm 2}} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon {\rm 2}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 12} \hspace{0.05cm}.$$

7. Für $Δt = T_0/2$ wurde in der Teilaufgabe c) die Verzerrungsleistung $P_{ε1} = 1 V^{ 2 }/3$ berechnet. In der Teilaufgabe f) wurde gezeigt, dass bei $Δt = T_0/4$ die Verzerrungsleistung $P_{ε2}$ nur halb so groß ist.

Anschaulich wurde erläutert, dass ein linearer Zusammenhang besteht. Daraus folgen für $Δt ≤ T_0/2$ die empirischen Gleichungen: $$P_{\varepsilon} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{3} \cdot \frac{\Delta t}{T_0} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon }}= \frac{3}{\Delta t/T_0} \hspace{0.05cm}.$$ Der Sonderfall $Δt = 0.05 T_0$ führt somit zu den Resultaten: $$P_{\varepsilon{\rm 3}} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{60} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v{\rm 3}} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon {\rm 3}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 60} \hspace{0.05cm}.$$