Aufgaben:Aufgabe 2.5: Einweggleichrichtung: Unterschied zwischen den Versionen
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Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$. Diese wurde bereits in der [[Aufgaben:2.4_Geichgerichteter_Cosinus|Aufgabe 2.4]] ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür: | Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$. Diese wurde bereits in der [[Aufgaben:2.4_Geichgerichteter_Cosinus|Aufgabe 2.4]] ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür: | ||
− | $$u(t)=1+\frac{2}{3}\cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cos(3\omega_1t)-\dots$$ | + | :$$u(t)=1+\frac{2}{3}\cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cos(3\omega_1t)-\dots$$ |
− | Die Grundkreisfrequenz ist mit | + | Anzumerken ist: |
− | Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden. Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen: | + | *Die Grundkreisfrequenz ist mit $\omega_1$ bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale $u(t)$ und $v(t)$ jeweils $T/2$ beträgt, gilt $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$. |
+ | *Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden. Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen: | ||
− | $$u(t)=1+\frac{2}{3}\cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15}\cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35}\cos(6\omega_0t)-\dots$$ | + | :$$u(t)=1+\frac{2}{3}\cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15}\cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35}\cos(6\omega_0t)-\dots$$ |
Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies: | Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies: | ||
*der Gleichkoeffizient ergibt sich zu $A_0 = 1$, | *der Gleichkoeffizient ergibt sich zu $A_0 = 1$, | ||
− | *alle Sinuskoeffizienten $B_n$ | + | *alle Sinuskoeffizienten sind $B_n = 0$, |
− | *die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n | + | *die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n = 1, 3, 5, ...$ sind alle $0$, |
− | *die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n | + | *die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n = 2, 4, 6, ...$ sind ungleich $0$: |
− | $$A_n=(-1)^{\hspace{0.01cm}n/2+1}\frac{2}{n^2-1}.$$ | + | :$$A_n=(-1)^{\hspace{0.01cm}n/2+1}\frac{2}{n^2-1}.$$ |
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Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte: | Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte: | ||
− | $$A_1=A_3=A_5=\dots=0,$$ | + | :$$A_1=A_3=A_5=\dots=0,$$ |
− | $$A_2=2/3; \;A_4=-2/15;\;A_6=2/35;\;A_8=-2/63.$$ | + | :$$A_2=2/3; \;A_4=-2/15;\;A_6=2/35;\;A_8=-2/63.$$ |
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Version vom 15. Januar 2017, 17:14 Uhr
Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des unten skizzierten Signals $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals $w(t)$ mit der Amplitude $\pi /2$ ergibt.
Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$. Diese wurde bereits in der Aufgabe 2.4 ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür:
- $$u(t)=1+\frac{2}{3}\cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cos(3\omega_1t)-\dots$$
Anzumerken ist:
- Die Grundkreisfrequenz ist mit $\omega_1$ bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale $u(t)$ und $v(t)$ jeweils $T/2$ beträgt, gilt $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$.
- Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden. Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen:
- $$u(t)=1+\frac{2}{3}\cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15}\cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35}\cos(6\omega_0t)-\dots$$
Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies:
- der Gleichkoeffizient ergibt sich zu $A_0 = 1$,
- alle Sinuskoeffizienten sind $B_n = 0$,
- die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n = 1, 3, 5, ...$ sind alle $0$,
- die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n = 2, 4, 6, ...$ sind ungleich $0$:
- $$A_n=(-1)^{\hspace{0.01cm}n/2+1}\frac{2}{n^2-1}.$$
Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:
- $$A_1=A_3=A_5=\dots=0,$$
- $$A_2=2/3; \;A_4=-2/15;\;A_6=2/35;\;A_8=-2/63.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fourierreihe.
- Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten sowie Eigenschaften und Genauigkeit der Fourierreihe
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.4. Diese sind in zwei Lernvideos zusammengefasst: Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten (Dauer 3:50) Eigenschaften und Genauigkeit der Fourierreihe (Dauer Teil 1: 3:31 – Teil 2: 8:39)
Fragebogen
Musterlösung
$$v(t)=1+\frac{2}{3}\cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\frac{2}{15}\cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))+\frac{2}{35}\cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\dots$$
Die Cosinusterme können nun mit $\omega_0 \cdot T = 2 \pi$ umgeformt werden:
$$\cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(2\omega_0t-\pi)=-\cos(2\omega_0t),$$
$$\cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(4\omega_0t-2\pi)=\cos(4\omega_0t),$$
$$\cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(6\omega_0t-3\pi)=-\cos(6\omega_0t).$$
Damit erhält man für die Fourierreihe
$$v(t)=1-{2}/{3}\cdot \cos(2\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(4\omega_0t)-{2}/{35}\cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$
bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$:
$$A_n=\frac{-2}{n^2-1}.$$
Insbesondere ist $A_2 = –2/3$.
2. Wegen $w(t) = \pi /2 \cdot sin(\omega_0 t)$ sind alle Fourierkoeffizienten außer $B_1 = \pi /2 =1.571$ gleich 0.
3. Aus der grafischen Darstellung erkennt man den Zusammenhang
$$x(t)=\frac{1}{2} \cdot [v(t)+w(t)].$$
Das bedeutet:
$$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\cdot \sin(\omega_0 t)-\frac{1}{3}\cdot \cos(2\omega_0 t)-\frac{1}{15}\cdot \cos(4\omega_0 t)-\frac{1}{35}\cdot \cos(6\omega_0 t)-\ldots$$
Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit $A_0 =1/2$; $B_1 = \pi /4 = 0.785$ und $A_2 = –1/3$.