Aufgaben:Aufgabe 5.1: Zum Abtasttheorem: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt. | Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt. | ||
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| − | Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion | + | ''Hinweise:'' |
| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung|Zeitdiskrete Signaldarstellung]]. | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
| + | *Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: | ||
| + | :[[Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion]] | ||
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{Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate. | {Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate. | ||
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| − | $ | + | $f_{\rm A}$ = { 10 3% } $\text{kHz}$ |
| − | {Bei welchen Frequenzen besitzt $ | + | {Bei welchen Frequenzen besitzt die Spektralfunktion $X_{\rm A}(f)$ mit Sicherheit keine Anteile? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | - $f= | + | - $f = 2.5 \ \text{kHz},$ |
| − | + $f= $ 5.5 kHz | + | + $f= $ 5.5 \text{kHz},$ |
| − | - $f= $ 6.5 kHz | + | - $f= $ 6.5 \text{kHz},$ |
| − | + $f= $ 34.5 kHz | + | + $f= $ 34.5 \text{kHz}.$ |
| − | {Bis zu welcher Eckfrequenz $f_1$ wird das Signal perfekt rekonstruiert? | + | {Bis zu welcher unteren Eckfrequenz $f_1$ wird das Signal perfekt rekonstruiert? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $f_{1,\text{min}}= | + | $f_{1,\text{min}}$ = { 4 3% } $\text{kHz}$ |
| − | {Bis zu welcher Eckfrequenz $f_2$ wird das Signal perfekt rekonstruiert? | + | {Bis zu welcher oberen Eckfrequenz $f_2$ wird das Signal perfekt rekonstruiert? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $f_{2,\text{min}}= | + | $f_{2,\text{min}}$ = { 6 3% } $\text{kHz}$ |
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Version vom 22. Januar 2017, 17:05 Uhr
Gegeben ist ein Analogsignal $x(t)$ entsprechend der Skizze.
- Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$ beinhaltet.
- Durch Abtastung mit der Abtastrate $f_{\rm A}$ erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal $x_{\rm A}(t)$.
- Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:
- $$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
Der Bereich zwischen den Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.
Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zeitdiskrete Signaldarstellung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul:
Fragebogen
Musterlösung
2. Das Spektrum $X_A(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_A$ = 10 kHz. Aus der Skizze erkennt man, dass $X_A(f)$ durchaus Anteile bei $f$ = 2.5 kHz und $f$ = 6.5 kHz besitzen kann, nicht jedoch bei $f$ = 5.5 kHz. Auch bei $f$ = 34.5 kHz wird $X_A(f)$ = 0 gelten. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4.
3. Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f)$ = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): $f_{1, \text{min}}$ = BNF = 4 kHz.
4. Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_A(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt $f_{2, \text{max}}$ = $f_A$ – BNF = 6 kHz.
