Aufgaben:Aufgabe 4.5Z: Nochmals Impulsantwort

• Zurück zum Buch

Wir betrachten wieder wie in der Aufgabe 4.5 ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate $R$ und der Symboldauer $T= 1/R$. Als Übertragungsmedium wird ein Normalkoaxialkabel (Innendurchmesser: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) der Länge $l = 1 \ \rm km$ mit folgendem Frequenzgang verwendet: $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.01cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} = H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$

Die Teilfrequenzgänge $H_1(f)$, $H_2(f)$ und $H_3(f)$ dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten: $$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm}.$$ Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm K}(t')$, wobei $t' = t/T$ die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit $\tau' = \tau/T$ kann $h_{\rm K}(t')$ wie folgt geschrieben werden: $$h_{\rm K}(t') = \frac {1}{T} \cdot \frac {\rm a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2 \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {\rm a_\rm \star^2}{ {2\pi \hspace{0.05cm}t'}} \right ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$ Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts $H_2(f) \cdot H_3(f)$ an. Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung ${\rm a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Koaxialkabeln.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das Interaktionsmodul Zeitverhalten von Kupferkabeln benutzen.
• In der Aufgabe 4.5 wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:

$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)] = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{\rm a}_{\rm \star}^2} \approx \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit $\tau$ verantwortlich?

	$H_1(f)$,
	$H_2(f)$,
	$H_3(f)$.

2

Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn $\tau' = \tau/T = 694$ beträgt.

$R \ =$ $\ \rm Mbit/s$

3

Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung ${\rm a}_{\rm \star}$ zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge $H_2(f)$ und $H_3(f)$ an.

${\rm a}_{\rm \star} \ =$ $\ \rm Np$

4

Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort.

${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)] \ =$

5

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Verzerrungen werden ohne $H_1(f)$ richtig wiedergegeben.
	Verzerrungen werden ohne $H_2(f)$ richtig wiedergegeben.
	Verzerrungen werden ohne $H_3(f)$ richtig wiedergegeben.

Musterlösung

Musterlösung

1.  Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet e^–j2πfτ. Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass H₁(f) genau diesem Ansatz genügt  ⇒ Alternative 1.

2.  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:

$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} = \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} = 34.7\,{\rm \mu s}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '= {\tau}/{T} = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm} T = \frac {34.7\,{\rm \mu s}}{700} \approx 0.05\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.$$

Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer: R = 20 Mbit/s.

3.  Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:

$${\rm a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 8.6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$

Der entsprechende dB–Wert ist 75 dB.

4.  Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis aus c) ergibt sich:

$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)] \approx \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$

5.  Richtig ist nur Aussage 1. H₁(f) beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat. Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf H₂(f) oder H₃(f) verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:

• Die Impulsantwort h₂(t) als die Fourierrücktransformierte von H₂(f) ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei t = 0 und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.

• Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von H₃(f) eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei t = 0. Für t > 0 fällt h₃(t) ähnlich – aber nicht exakt – wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten gilt h₃(t) = – h₃(|t|).

• Erst die Faltung h₂(t) ∗ h₃(t) liefert die kausale Impulsantwort. Die Phasenlaufzeit τ ist hierbei noch nicht berücksichtigt.