Aufgaben:4.1:WDF, VTF und Wahrscheinlichkeit: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. März 2017, 18:07 Uhr

Zur Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen aus dem Buch stochastischen Signaltheorie beschäftigen wir uns mit

der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF),
der Verteilungsfunktion (VTF).

Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer wertdiskreten Zufallsgröße X. Die zugehörige WDF $f_X(x)$ ist in der Teilaufgabe (a) zu bestimmen. Die Gleichung $$ {\rm Pr}(A < X \le B) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} F_X(B) - F_X(A) = $$ $$ =\hspace{-0.15cm} \lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} \int\limits_{A+\varepsilon}^{B+\varepsilon} \hspace{-0.15cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$

stellt zwei Möglichkeiten dar, um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die Zufallsgröße X liegt in einem Intervall” aus der VTF bzw. der WDF zu berechnen.

Die untere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}l} | y| \le 2, \\ y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$ einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße Y, die auf den Bereich |Y| ≤ 2 begrenzt ist.

Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße Y der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße. Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen. Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße Y in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht: $${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y) \hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}$$.

Hinweis: Die Aufgabe dient zur Vorbereitung der in Kapitel 4.1 dargelegten Thematik. Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel 3 des Buches „Stochastische Signaltheorie”. Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral: $$\int \hspace{0.1cm} \cos^2(A \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta = \frac{\eta}{2} + \frac{1}{4A} \cdot \sin(2A \eta)$$.

Fragebogen

	Die WDF setzt sich aus fünf Diracfunktionen zusammen.
	Es gilt Pr(X = 0) = 0.4 und Pr(X = 1) = 0.2.
	Es gilt Pr(X = 2) = 0.4.

$Pr(X > 0)$ =

$Pr(|X| ≤ 1)$ =

$F_Y(y = 0)$ =

$F_Y(y = 1)$ =

$F_Y(y = 2)$ =

$Pr(Y = 0)$ =

	Das Ergebnis Y = 0 ist unmöglich.
	Das Ergebnis Y = 3 ist unmöglich.

$Pr(Y > 0)$ =

$Pr(|Y| ≤ 1)$ =

Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:
 $$\int \hspace{0.1cm} \cos^2(A \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta =  \frac{\eta}{2} + \frac{1}{4A} \cdot \sin(2A  \eta)$$.
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
+{Bestimmen Sie die WDF <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) der wertdiskreten Zufallsgröße <i>X</i>. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Falsch
++ Die WDF setzt sich aus fünf Diracfunktionen zusammen.
-+ Richtig
++ Es gilt Pr(<i>X</i> = 0) = 0.4 und Pr(<i>X</i> = 1) = 0.2.
+- Es gilt Pr(<i>X</i> = 2) = 0.4.
+{Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
+|type="{}"}
+$Pr(X > 0)$ = { 0.3 3% }
+$Pr(|X| ≤ 1)$ = { 0.8 3% }
-{Input-Box Frage
+{Welche Werte ergeben sich für die Verteilungsfunktion <i>F<sub>Y</sub></i>(<i>y</i>) = Pr(<i>Y</i> &#8804; <i>y</i>) der wertkontinuierlichen Zufallsgröße <i>Y</i>, insbesondere:
 |type="{}"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+$F_Y(y = 0)$ = { 0.5 3% }
+$F_Y(y = 1)$ = { 1 3% }
+$F_Y(y = 2)$ = { 0.909 3% }
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <i>Y</i> = 0 ist?
+|type="{}"}
+$Pr(Y = 0)$ = { 0 3% }
+{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
+|type="[]"}
+- Das Ergebnis <i>Y</i> = 0 ist unmöglich.
++ Das Ergebnis <i>Y</i> = 3 ist unmöglich.
+{Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten?
+|type="{}"}
+$Pr(Y > 0)$ = { 0.5 3% }
+$Pr(|Y| ≤ 1)$ = { 0.818 3% }
 </quiz>