Aufgaben:Aufgabe 2.3: ZSB–AM–Realisierung: Unterschied zwischen den Versionen
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Zur Realisierung der so genannten „ZSB–AM mit Träger” soll ein Verstärker mit der Kennlinie | Zur Realisierung der so genannten „ZSB–AM mit Träger” soll ein Verstärker mit der Kennlinie | ||
| − | $$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$ | + | :$$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$ |
| − | verwendet werden. Hierbei sind $x = x(t)$ und $y = y(t)$ als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen. Der Parameter $U = 3 V$ gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an. | + | verwendet werden. Hierbei sind $x = x(t)$ und $y = y(t)$ als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen. Der Parameter $U = 3 \ \rm V$ gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an. |
| − | Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt $A_0 = 2 V$ betrieben. Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal | + | Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt $A_0 = 2\ \rm V$ betrieben. Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal |
| − | $$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$ |
Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus: | Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus: | ||
| − | $$ z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 30\,{\rm kHz},$$ | + | :$$ z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 30\,{\rm kHz},$$ |
| − | $$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ |
Verwenden Sie bei der Lösung dieser Aufgabe die Hilfsgröße | Verwenden Sie bei der Lösung dieser Aufgabe die Hilfsgröße | ||
| − | $$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$ |
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Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer ''Taylorreihe'' um den Arbeitspunkt entwickelt werden: | Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer ''Taylorreihe'' um den Arbeitspunkt entwickelt werden: | ||
| − | $$y(x) = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+ | + | :$$y(x) = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+ |
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In Abhängigkeit der Hilfsgröße $w(t)$ kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden: | In Abhängigkeit der Hilfsgröße $w(t)$ kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden: | ||
| − | $$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) + ...$$ | + | :$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) + ...$$ |
| − | Das ZSB–AM–Signal $s(t)$ erhält man durch die Bandbegrenzung von $y(t)$ auf den Frequenzbereich von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$. Das heißt: Alle anderen Frequenzen als $ | + | Das ZSB–AM–Signal $s(t)$ erhält man durch die Bandbegrenzung von $y(t)$ auf den Frequenzbereich von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$. Das heißt: Alle anderen Frequenzen als $f_{\rm T}$, $f_{\rm T}±f_{\rm N}$ sowie $f_{\rm T}±2f_{\rm N}$ werden durch den Bandpass entfernt. |
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| + | Die Grafik zeigt die Kennlinie $g(x)$ sowie die Näherungen $g_1(x)$, $g_2(x)$ und $g_3(x)$, wenn man die Taylorreihe nach dem ersten, zweiten oder dritten Term abbricht. Man erkennt, dass die Näherung $g_3(x)$ im dargestellten Bereich innerhalb der Zeichengenauigkeit von $g(x)$ nicht mehr zu unterscheiden ist. | ||
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. | ||
| + | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme|Beschreibung nichtlinearer Systeme]] im Buch „Lineare zeitinvariante Systeme”. | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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| − | {In welchem Wertebereich kann das Eingangssignal $x(t)$ variieren? Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße $w(t) = x(t) | + | {In welchem Wertebereich kann das Eingangssignal $x(t)$ variieren? Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße $w(t) = x(t) - A_0$ ein. |
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| − | $w_{min}$ | + | $w_{\rm min} \ = \ $ { -2.06--1.94 } $\ \text{V}$ |
| − | $w_{max}$ | + | $w_{\rm max} \ = \ ${ 2 3% }$\ \text{V}$ |
{Berechnen Sie die Koeffizienten $c_0$ und $c_1$ der Taylorreihe. | {Berechnen Sie die Koeffizienten $c_0$ und $c_1$ der Taylorreihe. | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $c_0$ | + | $c_0 \ = \ $ { 1.46 3% } $\ \text{V}$ |
| − | $c_1$ | + | $c_1 \ = \ $ { 0.513 3% } |
{Wie lauten die Koeffizienten $c_2$ und $c_3$ der nichtlinearen Kennlinie? | {Wie lauten die Koeffizienten $c_2$ und $c_3$ der nichtlinearen Kennlinie? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $c_2$ | + | $c_2\ = \ $ { -0.088--0.084 } $\ \rm V^{ -1 }$ |
| − | $c_3$ | + | $c_3\ = \ $ { 0.0095 3% } $\ \rm V^{ -2 }$ |
| − | {Zeigen Sie, dass sich eine „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man $c_3$ als vernachlässigbar klein betrachtet. Wie groß ist der Modulationsgrad? | + | {Zeigen Sie, dass sich eine „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man $c_3$ als vernachlässigbar klein betrachtet. Wie groß ist der Modulationsgrad $m$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $m$ | + | $m \ = \ $ { 0.335 3% } |
| − | {Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man $c_3$ nicht als vernachlässigbar klein | + | {Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man $c_3$ nicht als vernachlässigbar klein betrachten kann? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | - Das Gewicht der Spektrallinie bei $ | + | - Das Gewicht der Spektrallinie bei $f_{\rm T}$ wird nicht verändert. |
| − | + $s(t)$ beinhaltet nun auch Diraclinien bei $ | + | + $s(t)$ beinhaltet nun auch Diraclinien bei $f_{\rm T} ± 2f_{\rm N}$. |
+ Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen. | + Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen. | ||
- Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen. | - Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen. | ||
Version vom 26. Juni 2017, 12:25 Uhr
Zur Realisierung der so genannten „ZSB–AM mit Träger” soll ein Verstärker mit der Kennlinie
- $$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$
verwendet werden. Hierbei sind $x = x(t)$ und $y = y(t)$ als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen. Der Parameter $U = 3 \ \rm V$ gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an.
Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt $A_0 = 2\ \rm V$ betrieben. Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal
- $$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$
Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus:
- $$ z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 30\,{\rm kHz},$$
- $$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
Verwenden Sie bei der Lösung dieser Aufgabe die Hilfsgröße
- $$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$
Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer Taylorreihe um den Arbeitspunkt entwickelt werden:
- $$y(x) = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+ \frac{1}{3!} \cdot y\hspace{0.08cm}'''(A_0) \cdot (x - A_0)^3 + ...$$
In Abhängigkeit der Hilfsgröße $w(t)$ kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden:
- $$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) + ...$$
Das ZSB–AM–Signal $s(t)$ erhält man durch die Bandbegrenzung von $y(t)$ auf den Frequenzbereich von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$. Das heißt: Alle anderen Frequenzen als $f_{\rm T}$, $f_{\rm T}±f_{\rm N}$ sowie $f_{\rm T}±2f_{\rm N}$ werden durch den Bandpass entfernt.
Die Grafik zeigt die Kennlinie $g(x)$ sowie die Näherungen $g_1(x)$, $g_2(x)$ und $g_3(x)$, wenn man die Taylorreihe nach dem ersten, zweiten oder dritten Term abbricht. Man erkennt, dass die Näherung $g_3(x)$ im dargestellten Bereich innerhalb der Zeichengenauigkeit von $g(x)$ nicht mehr zu unterscheiden ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Beschreibung nichtlinearer Systeme im Buch „Lineare zeitinvariante Systeme”.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
2.Der Koeffizient $c_0$ ist gleich dem Kennlinienwert im Arbeitspunkt. Mit $A_0 = 2 V$, $U = 3 V$ erhält man:
$$c_0 = y(A_0) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-A_0/U}\right) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.460\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
Entsprechend gilt für den Taylorkoeffizienten $c_1$:
$$c_1 = y\hspace{0.06cm}'(A_0)= {\rm e} ^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.513}\hspace{0.05cm}.$$
3.Die weiteren Ableitungen $(n ≥ 2)$ lauten:
$$y^{(n)}(A_0)= \frac{(-1)^{n-1}}{U^{n-1}} \cdot {\rm e} ^{-A_0/U} \hspace{0.05cm}.$$
Daraus ergeben sich folgende Koeffizienten:
$$ c_2 = \frac{1}{2!} \cdot y^{(2)}(A_0)= \frac{1}{2U} \cdot {\rm e}^{-A_0/U} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.086\,{\rm V^{-1}}}\hspace{0.05cm},$$
$$c_3 = \frac{1}{3!} \cdot y^{(3)}(A_0)= \frac{1}{6U^2} \cdot {\rm e}^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0095\,{\rm V^{-2}}}\hspace{0.05cm}.$$
4. Setzt man $c_3 = 0$, so lautet das Ausgangssignal des Verstärkers:
$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot (z(t) + q(t)) + c_2 \cdot (z^2(t) + q^2(t) + 2 \cdot z(t) \cdot q(t))\hspace{0.05cm}.$$
Nach dem Bandpass verbleiben somit noch folgende Signalanteile:
$$s(t) = c_1 \cdot z(t) + 2 \cdot c_2 \cdot z(t) \cdot q(t)$$
$$ = \left[c_1 \cdot A_{\rm T} + 2 \cdot c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)\hspace{0.05cm}.$$
Der Modulationsgrad ist dann als Quotient der „Amplitude” der Nachrichtenschwingung zur „Amplitude” des Trägers zu bestimmen:
$$m = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}}{|c_1| \cdot A_{\rm T}} = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm N}}{|c_1| }= \frac{2 \cdot 0.086 \cdot 1\,{\rm V}}{0.513 }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.335}\hspace{0.05cm}.$$
5.Unter Berücksichtigung des kubischen Anteils beinhaltet y(t) noch folgende weitere Anteile:
$$y_3(t) = c_3 \cdot (z(t) + q(t))^3$$
$$ = c_3 \cdot z^3(t) + 3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)+ 3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t) + c_3 \cdot q^3(t) \hspace{0.05cm}.$$
Der erste Term führt zu Anteilen bei $fT$ und $3f_T$, der letzte bei $f_N$ und $3f_N$. Der zweite Term ergibt einen Anteil bei $f_N$ und weitere bei $2f_T ± f_N$:
$$3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)= \frac{3}{2 } \cdot A_{\rm T}^2 \cdot A_{\rm N} \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm N} t) + \cos(2\omega_{\rm T} t) \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Entsprechend führt der dritte Summand in obiger Gleichung zu
$$3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t)= \frac{3}{2 } \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}^2 \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm T} t) + \cos(\omega_{\rm T} t)\cdot \cos(2 \omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Innerhalb des Frequenzbereichs von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$ kommt es also tatsächlich zu einer Veränderung der Spektrallinie bei $f_T$ und es entstehen neue Diraclinien bei $f_T ± 2f_N$, also bei $\text{24 kHz}$ und $\text{36 kHz}$. Die dadurch verbundenen Verzerrungen sind somit nichtlinear. Das heißt: Es treffen die Aussagen 2 und 3 zu.
