Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: ZSB durch Nichtlinearität: Unterschied zwischen den Versionen
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In dieser Aufgabe betrachten wir die Realisierung einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mittels der nichtlinearen Kennlinie | In dieser Aufgabe betrachten wir die Realisierung einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mittels der nichtlinearen Kennlinie | ||
− | $$y = g(x) = c_1 \cdot x + c_2 \cdot x^2+ c_3 \cdot x^3\hspace{0.05cm}$$ | + | :$$y = g(x) = c_1 \cdot x + c_2 \cdot x^2+ c_3 \cdot x^3\hspace{0.05cm}$$ |
− | $$ \Rightarrow c_1 = 2,\hspace{0.2cm}c_2 = 0.25/{\rm V},\hspace{0.2cm}c_3 = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}c_3 = 0.01/{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$ \Rightarrow c_1 = 2,\hspace{0.2cm}c_2 = 0.25/{\rm V},\hspace{0.2cm}c_3 = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}c_3 = 0.01/{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$ |
Am Eingang dieser Kennlinie liegt die Summe aus Trägersignal und Quellensignal an: | Am Eingang dieser Kennlinie liegt die Summe aus Trägersignal und Quellensignal an: | ||
− | $$ x(t) = z(t) + q(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+ q(t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 4\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$ x(t) = z(t) + q(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+ q(t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 4\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$ |
− | Über das Quellensignal $q(t)$ ist bekannt, dass es Spektralanteile zwischen | + | Über das Quellensignal $q(t)$ ist bekannt, dass es Spektralanteile zwischen 1 kHz und9kHz (einschließlich dieser Grenzen) beinhaltet. Ab der Teilaufgabe (5) soll folgendes Quellensignal vorausgesetzt werden: |
− | $$q(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t) \hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$q(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t) \hspace{0.05cm}.$$ |
− | Die Kreisfrequenzen seien $ω_1 = 2 π · 1 kHz$ und $ω_9 = 2 π · 9 kHz$. Die dazugehörigen Amplituden sind wie folgt gegeben: $A_1 = 1 V$ und $A_9 = 2 V$. | + | Die Kreisfrequenzen seien $ω_1 = 2 π · 1 \ \rm kHz$ und $ω_9 = 2 π · 9\ \rm kHz$. Die dazugehörigen Amplituden sind wie folgt gegeben: $A_1 = 1\ \rm V$ und $A_9 = 2\ \rm V$. |
In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende Abkürzungen verwendet: | In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende Abkürzungen verwendet: | ||
− | $$ y(t) = y_1(t) + y_2(t)+y_3(t),$$ | + | :$$ y(t) = y_1(t) + y_2(t)+y_3(t),$$ |
− | $$y_1(t) = c_1 \cdot | + | :$$y_1(t) = c_1 \cdot [z(t) + q(t)],$$ |
− | $$ y_2(t) = c_2 \cdot | + | :$$ y_2(t) = c_2 \cdot[z(t) + q(t)]^2,$$ |
− | $$y_3(t) = c_3 \cdot | + | :$$y_3(t) = c_3 \cdot [z(t) + q(t)]^3 \hspace{0.05cm}.$$ |
− | Die Sendesignale $s(t)$ bzw. $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ ergeben sich daraus jeweils durch | + | Die Sendesignale $s(t)$ bzw. $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ ergeben sich daraus jeweils durch Bandbegrenzung auf den Bereich von 90 kHz bis 110 kHz. |
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− | $$ \cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right] \hspace{0.05cm}, | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]]. |
− | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Amplitudenmodulation_durch_quadratische_Kennlinie|Amplitudenmodulation durch quadratische Kennlinie]]. | |
+ | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
+ | *Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen: | ||
+ | :$$ \cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} | ||
+ | \cos^3(\alpha) = {1}/{4} \cdot \left[ 3 \cdot \cos(\alpha) + \cos(3\alpha)\right] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
Version vom 26. Juni 2017, 12:57 Uhr
In dieser Aufgabe betrachten wir die Realisierung einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mittels der nichtlinearen Kennlinie
- $$y = g(x) = c_1 \cdot x + c_2 \cdot x^2+ c_3 \cdot x^3\hspace{0.05cm}$$
- $$ \Rightarrow c_1 = 2,\hspace{0.2cm}c_2 = 0.25/{\rm V},\hspace{0.2cm}c_3 = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}c_3 = 0.01/{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$
Am Eingang dieser Kennlinie liegt die Summe aus Trägersignal und Quellensignal an:
- $$ x(t) = z(t) + q(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+ q(t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 4\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
Über das Quellensignal $q(t)$ ist bekannt, dass es Spektralanteile zwischen 1 kHz und9kHz (einschließlich dieser Grenzen) beinhaltet. Ab der Teilaufgabe (5) soll folgendes Quellensignal vorausgesetzt werden:
- $$q(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t) \hspace{0.05cm}.$$
Die Kreisfrequenzen seien $ω_1 = 2 π · 1 \ \rm kHz$ und $ω_9 = 2 π · 9\ \rm kHz$. Die dazugehörigen Amplituden sind wie folgt gegeben: $A_1 = 1\ \rm V$ und $A_9 = 2\ \rm V$.
In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende Abkürzungen verwendet:
- $$ y(t) = y_1(t) + y_2(t)+y_3(t),$$
- $$y_1(t) = c_1 \cdot [z(t) + q(t)],$$
- $$ y_2(t) = c_2 \cdot[z(t) + q(t)]^2,$$
- $$y_3(t) = c_3 \cdot [z(t) + q(t)]^3 \hspace{0.05cm}.$$
Die Sendesignale $s(t)$ bzw. $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ ergeben sich daraus jeweils durch Bandbegrenzung auf den Bereich von 90 kHz bis 110 kHz.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Amplitudenmodulation durch quadratische Kennlinie.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
- $$ \cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos^3(\alpha) = {1}/{4} \cdot \left[ 3 \cdot \cos(\alpha) + \cos(3\alpha)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
2. $s_1(t)$ beinhaltet nur den Träger $z(t)$. Das Quellensignal $q(t)$ wird durch den Bandpass entfernt.
3. Der quadratische Term $z^2(t)$ besteht aus einem Gleichanteil (bei f = 0) sowie einem Anteil bei $2f_T$. Auch alle Spektralanteile von $q^2(t)$ liegen außerhalb des Bandpasses. Richtig ist somit die letzte Antwort.
4. Der Term $cos^3(ω_Tt)$ hat seinen größten Signalanteil bei $f = f_T$. Der dritte Lösungsvorschlag liegt zwischen $100 kHz ± 18 kHz$. Teile davon – nämlich die Frequenzanteile zwischen $90 kHz$ und $110 kHz$ – werden durch den Bandpass nicht entfernt und sind somit auch in $s(t)$ enthalten. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.
5.Das Sendesignal besteht aus insgesamt fünf Frequenzen:
$$s(t) = c_1 \cdot A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)+$$ $$ + c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm 1} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 1})t) + c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm 2} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 2})t) \hspace{0.05cm}.$$
Beachten Sie hierbei, dass der zweite und dritte Term jeweils zwei Signalfrequenzen (99 und 101 kHz bzw. 91 und 109 kHz) beinhaltet. Mit $A_T = 4 V,$ $A_1 = 1 V$, $A_9 = 2 V$, $c_1 = 1$ und $c_2 = 1/A_T = 0.25/V$ gilt auch:
$$s(t) = 4\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm T} t) + 1\,{\rm V} \cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 1})t) + 2\,{\rm V}\cdot \cos((\omega_{\rm T} \pm \omega_{\rm 2})t) \hspace{0.05cm}.$$
Daran erkennt man, dass der Modulationsgrad $m = (A_1 + A_2)/A_T = 0.75$ ist.
6.Die Grafik zeigt oben das Spektrum $S_+(f)$ – also nur positive Frequenzen – mit $c_3 = 0$. Mit $c_3 ≠ 0$ fallen folgende zusätzliche Spektralanteile an: $$c_3 \cdot z^3(t)= \frac{c_3 \cdot A_{\rm T}^3}{4} \cdot \left[ 3 \cdot \cos(\omega_{\rm T} t) + \cos(3\omega_{\rm T} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$ Dabei fällt der erste Anteil in den Durchlassbereich des Bandpasses. Das Diracgewicht bei $f_T = 100 kHz$ wird dadurch von ursprünglich 8 V auf 8 V + 0.75 · 0.01/V2 · 43 V3 = 8.48 V erhöht.
Weiterhin liefert der dritte Spektralanteil von Teilaufgabe d) einen unerwünschten Beitrag zu $S_+(f)$. Dabei gilt: $$q^2(t) = \left[A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)+A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 9} t)\right]^2 =$$ $$= A_{\rm 1}^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t)+ A_{\rm 9}^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 9}t) +$$ $$ + 2 \cdot A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t)\cdot \cos(\omega_{\rm 9} t)$$ $$ \Rightarrow \hspace{0.2cm} q^2(t) = \frac{A_{\rm 1}^2}{2} +\frac{A_{\rm 1}^2}{2} \cdot \cos(\omega_{\rm 2} t)+ \frac{A_{\rm 9}^2}{2} + \frac{A_{\rm 9}^2}{2} \cdot \cos(\omega_{\rm 18} t) +$$ $$ + A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 8} t)+ A_{\rm 1} \cdot A_{\rm 9} \cdot \cos(\omega_{\rm 10} t)$$ Nach der Multiplikation mit $z(t)$ fallen alle diese Beiträge bis auf den vierten in den Bereich von 90 kHz bis 110 kHz. Das Gewicht bei fT wird um $3 · c_3 · A_T · 0.5 (A_1^2 + A_g^2) = 0.6 V$ weiter erhöht und ist somit 9.08 V. Weitere Anteile ergeben sich bei:
- 98 kHz und 102 kHz mit den Gewichten $c_3 · A_T/2 · A_1^2/2 = 0.03 V$,
- 92 kHz und 108 kHz mit den Gewichten $3c_3 · A_T/2 · A_1 · A_9 = 0.12 V$,
- 90 kHz und 110 kHz mit den Gewichten $3c_3 · A_T/2 · A_1 · A_9 = 0.12 V$.
Die untere Grafik zeigt das Spektrum $S_+(f)$ unter Berücksichtigung der kubischen Anteile. Man erkennt, dass neue Frequenzen entstanden sind, was auf nichtlineare Verzerrungen hindeutet. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.