Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Bitfehlermessung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. Oktober 2017, 16:46 Uhr

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0}}\right)$$ eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER) $$h_{\rm B} = \frac {n_{\rm B}}{N}$$ simulativ ermittelt. Oftmals wird h_B auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.

In obigen Gleichungen bedeuten

E_B : Energie pro Bit,
N₀ : AWGN–Rauschleistungsdichte,
n_B : Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,
N : Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit N = 64000, N = 128000 und N = 1.6 Millionen. Die letzte mit N → ∞ benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B wieder.

Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:

Die Bitfehlerhäufigkeit h_B ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert m_h = p_B und der Varianz σ_h² ≈ p_B/N.
Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt

$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$

Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl n_B der gemessenen Bitfehler mindestens 100 sein sollte.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.2 .

Fragebogen

	Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von N.
	Je größer N ist, desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.
	Je größer N ist, desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.

$N = 64.000: σ_h$ =

$\cdot 10^{ -3 }\ $

$N = 1.600.000: σ_h $ =

$\cdot 10^{ -4 }\ $

$N = 64.000: ε_{rel} $=

$\% $

$N = 1.600.000: ε_{rel} $=

$\% $

$N = 64.000: σ_h $=

$\cdot 10^{ -5 }\ $

$N = 1.600.000: σ_h $=

$\cdot 10^{ -6 }\ $

$N = 64.000: ε_{rel} $=

$\% $

$N = 1.600.000: ε_{rel} $=

$\% $

$Maximum für 10 · lg EB/N0$=

$dB $

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 {Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung  für 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 0 dB?
 |type="{}"}
-$N = 64.000:  ε_rel $= { -0.9 3% }  $\% $
+$N = 64.000:  ε_{rel} $= { -0.9 3% }  $\% $
-$N = 1.600.000:  ε_rel $= { -0.5 3% }  $\% $
+$N = 1.600.000:  ε_{rel} $= { -0.5 3% }  $\% $
+{Geben Sie die Streuung <i>&sigma;<sub>h</sub></i> für verschiedene <i>N</i> an. 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 9 dB.
+|type="{}"}
+$N = 64.000:  σ_h   $= { 2.3 3% }  $\cdot 10^{ -5 }\ $
+$N = 1.600.000:  σ_h $= { 4.6  3% }  $\cdot 10^{ -6 }\ $
+{Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung  für 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 9 dB?
+|type="{}"}
+$N = 64.000:  ε_{rel} $= { 86 3% }  $\% $
+$N = 1.600.000:  ε_{rel} $= { -3.3 3% }  $\% $
+{Bis zu welchem (logarithmischen) <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>&ndash;Wert ist <i>N</i> = 1.6 Millionen aufgrund der Bedingung <nobr><i>n</i><sub>B</sub> &#8805; 100</nobr> ausreichend?
+|type="{}"}
+$Maximum für 10 · lg EB/N0$= { 8 3% }  $dB $
 </quiz>