Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung: Unterschied zwischen den Versionen
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$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ | $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ |
Version vom 1. November 2017, 11:39 Uhr
In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet: $$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm},$$ $${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$ Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert E = 0 unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten pL und pH. Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert E eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind (pL ≠ pH) Die Streuung des Rauschanteils ist stets σd = 0.5 V, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit ±1 V fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
- pL = 0.88 und pH = 0.12,
- pL = 0.31 und pH = 0.69.
In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert E = 0.1 · s0 dargestellt.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel1.2. Für die Ableitung der Q–Funktion gilt: $$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$ Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:
Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen
Fragebogen
Musterlösung