Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung: Unterschied zwischen den Versionen

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In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
 
In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
 
$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$
 
$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$

Version vom 1. November 2017, 11:39 Uhr


Zur Optimierung des Schwellenwertes

In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet: $$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm},$$ $${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$ Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert E = 0 unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten pL und pH. Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert E eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind (pLpH) Die Streuung des Rauschanteils ist stets σd = 0.5 V, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit ±1 V fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:

  • pL = 0.88 und pH = 0.12,
  • pL = 0.31 und pH = 0.69.

In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert E = 0.1 · s0 dargestellt.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel1.2. Für die Ableitung der Q–Funktion gilt: $$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$ Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:

Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Q(x) und erfc(x)?

erfc(x) = 2 · Q(21/2 · x),
erfc(x) = 21/2 · Q(x/21/2),
erfc(x) ≈ Q(x).

2

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit pL = 0.88 und E = 0?

$E = 0: p_B$ =

$\%$


Musterlösung

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)