Aufgaben:Aufgabe 3.09: Korrelationsempfänger für unipolare Signalisierung

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Beispielhafte Korrelationswerte

Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von $N = 3$ Binärsymbolen (Bit) mittels des Korrelationsempfängers. Die $M = 8$ möglichen Quellensymbolfolgen $Q_i$ besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:

$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011 \hspace{0.05cm},$$

$$Q_4 = 100, \hspace{0.15cm}Q_5 = 101,\hspace{0.15cm}Q_6 = 110,\hspace{0.15cm}Q_7 = 111 \hspace{0.05cm}.$$

Weiter gilt:

• Die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ – jeweils mit der Dauer $3T$ – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von $s_0(t) \equiv 0$.
• Die Signale $s_1(t)$, $s_2(t)$, und $s_4(t)$ mit nur jeweils einer „$1$” besitzen die Signalenergie $E_{\rm B}$ (steht für „Energie pro Bit”), während zum Beispiel die Energie von $s_7(t)$ gleich $3E_{\rm B}$ beträgt.

Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal $r(t) = s(t) + n(t)$ insgesamt $2^3 = 8$ Entscheidungsgrößen (Metriken)

$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)$$

und setzt die Sinkensymbolfolge $V = Q_j$, falls $W_j$ größer ist als alle anderen $W_{i \ne j}$. Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.

In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte $I_0, \ ... \ , I_7$ für drei verschiedene Systeme angegeben, die sich hinsichtlich der Störungen $n(t)$ unterscheiden und mit A, B oder C bezeichnet werden.

• Eine dieser Spalten steht für „keine Störung”,
• eine für „geringe Störungen” und
• eine weitere für „starke Störungen”.

Zur Bestimmung der Metriken für die drei Systemvarianten wurde stets die gleiche Quellensymbolfolge gesendet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Optimale Empfängerstrategien.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Bei welchem System gibt es keine Störungen $n(t)$? Bei

	$\rm System \ A$,
	$\rm System \ B$,
	$\rm System \ C$.

2

Welche Quellensymbolfolge $Q_k ∈ {Q_0, \ ... \ , Q_7}$ wurde tatsächtlich gesendet?

$k \ = \ $

3

Welcher Entscheidungswert $W_j$ ist bei System A am größten?

${\rm System \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $

4

Welcher Entscheidungswert $W_j$ ist beim System C am größten?

${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $

5

Bei welchem System treten die größten Störungen auf? Bei

	$\rm System \ A$,
	$\rm System \ B$,
	$\rm System \ C$.

6

Welche Aussagen gelten unter der Annahme, dass $Q_2$ gesendet wurde und der Korrelationsempfänger sich normalerweise auch für $Q_2$ entscheidet?

	Die Differenz zwischen $W_2$ und dem nächstgrößten Wert $W_{i \ne 2}$ ist um so kleiner, je stärker die Störungen sind.
	Wenn es zu einer Verfälschung kommt, dann entscheidet sich der Empfänger am wahrscheinlichsten für die Symbolfolge $Q_6$.
	Die Wahrscheinlichkeiten für fehlerhafte Entscheidungen zugunsten von $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ sind gleich.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Beim System B treten viermal die Metriken 0 und viermal die Metriken 1 auf.
• Dies weist auf $n(t) = 0$ hin, da sich sonst – wie bei den Systemen A und C – alle $I_i$ unterscheiden müssten.

(2)  Beim System B ergeben sich folgende Entscheidungswerte $W_i = I_i \ – E_i/2$, jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:

$$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5 \hspace{0.05cm},$$

$$W_2 = 1 - 0.5 = 0.5, \hspace{0.2cm}W_3 = 1 - 1 = 0 \hspace{0.05cm},$$

$$W_4 = 0 - 0.5 = -0.5, \hspace{0.2cm}W_5 = 0 - 1 = -1 \hspace{0.05cm}.$$

$$W_6 = 1 - 1 = 0, \hspace{0.2cm}W_7 = 1 - 1.5 = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$

Der maximale Wert $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$. Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für $V = Q_2$. Da keine Störungen auftreten, wurde tatsächtlich auch $Q_2 =$ „$\rm 010$” gesendet   ⇒   $\underline { k= 2}$.

(3)  Für die Entscheidungswerte von System A gilt:

$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -0.07 - 0.50 = -0.57, $$

$$W_2 = 1.13 - 0.50 = 0.63, \hspace{0.2cm}W_3 = 1.06 - 1.00 = 0.06 \hspace{0.05cm},$$

$$W_4 = 0.05 - 0.50 = -0.45, \hspace{0.2cm}W_5 = -0.02 - 1.00 = -1.02\hspace{0.05cm},$$

$$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$

Das Maximum ist $W_j = W_2$   ⇒   $\underline { j= 2}$.

• Das heißt, dass der Korrelationsempfänger auch bei System A die richtige Entscheidung $V = Q_2$ trifft.
• Ohne den Korrekturterm $(– E_i/2)$ hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung $V = Q_6$ getroffen.

(4)  Der Korrelationsempfänger C hat folgende Werte zu vergleichen:

$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 = -1.81 \hspace{0.05cm},$$

$$W_2 = 3.59 - 0.50 = 3.09, \hspace{0.2cm}W_3 = 2.28 - 1.00 = 1.28 \hspace{0.05cm},$$

$$W_4 = 0.97 - 0.50 = 0.47, \hspace{0.2cm}W_5 = -0.34 - 1.00 = -1.34 \hspace{0.05cm},$$

$$W_6 = 4.56 - 1.00 = 3.56, \hspace{0.2cm}W_7 = 3.25 - 1.50 = 1.75 \hspace{0.05cm}.$$

Die Maximierung ergibt hier $\underline {j = 6}$   ⇒   $V = Q_6$.

• Da aber $Q_2$ gesendet wurde, entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch.
• Die Störungen sind zu stark.

(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Die Störungen sind bei System C am größten und für die aktuellen Empfangswerte sogar so groß, dass der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung trifft.

(6)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

• Im fehlerfreien Fall (System B) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.5$ und den nächstgrößten Werten $W_0 = W_3 = W_6 = 0$ jeweils gleich $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} =0.5$.
• Bei System A (leichte Störungen) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.63$ und dem nächstgrößeren Wert $W_6 = 0.18$ immerhin noch $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.45$. Erhöht man die Rauschleistung um den Faktor $50$, so entscheidet der Korrelationsempfänger immer noch richtig, doch ist dann die minimale Differenz $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.16$ deutlich kleiner.
• Für das System C, bei dem der Korrelationsempfänger überfordert ist   ⇒   Teilaufgabe (4), wurde eine gegenüber dem System A um den Faktor 400 größere Rauschleistung zugrundegelegt.
• Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge $Q_2$ falsch, so ist eine Verfälschung zu den Folgen $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ am wahrscheinlichsten, da sich alle diese drei Folgen von $Q_2$ nur jeweils in einem Bit unterscheiden. Dass bei der beschriebenen Simulation $W_6$ stets größer ist als $W_0$ bzw. $W_3$, ist „Zufall” und sollte nicht überinterpretiert werden.