Aufgaben:Aufgabe 1.5: Cosinus-Quadrat-Spektrum: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. November 2017, 12:48 Uhr

Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum

Betrachtet wird das Spektrum $G(f)$ mit cos$^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:

$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - \frac{k}{T} ) = {\rm const.}$$

Dementsprechend hat der zugehörige Impuls $g(t)$ Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T$, wobei $T$ noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von $G(f)$ erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:

$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.05cm}.$$

In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:

Die hier betrachtete Spektralfunktion $G(f)$ ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq}$ ist.
Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ vollständig gekennzeichnet. Für $| f | < f_{1}$ ist $G(f) = g_{0} \cdot T = const.$, während das Spektrum für $| f | > f_{2}$ keine Anteile besitzt.
Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:

$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 } {2 }\hspace{0.05cm}.$$

Die Flankensteilheit wird durch den so genannten Rolloff–Faktor charakterisiert:

$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.2cm}(0 \le r \le 1) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:

Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Eigenschaften von Nyquistsystemen.

Fragebogen

Musterlösung

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-[[Datei:|right|]]
+[[Datei:P_ID1282__Dig_A_1_5.png|right|frame|Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum]]
+Betrachtet wird das Spektrum $G(f)$ mit cos$^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:
+:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -
+\frac{k}{T} ) =  {\rm const.}$$
+Dementsprechend hat der zugehörige Impuls $g(t)$ Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T$, wobei $T$ noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von $G(f)$ erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
+:$$g( t )= g_0 \cdot   \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot
+t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.05cm}.$$
+In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
+*Die hier betrachtete Spektralfunktion $G(f)$ ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq}$ ist.
+*Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ vollständig gekennzeichnet. Für $| f | < f_{1}$ ist $G(f) = g_{0} \cdot T = const.$, während das Spektrum für $| f | > f_{2}$ keine Anteile besitzt.
+*Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:
+:$$f_{\rm Nyq}=  \frac{f_1 +f_2 }
+{2 }\hspace{0.05cm}.$$
+*Die Flankensteilheit wird durch den so genannten Rolloff–Faktor charakterisiert:
+:$$r = \frac{f_2 -f_1 }
+{f_2 +f_1 }\hspace{0.2cm}(0 \le r \le 1) \hspace{0.05cm}.$$
+''Hinweis:''
+Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
 ===Fragebogen===

	Falsch
	Richtig