Aufgaben:Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | ||
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+ | jeweils bezogen auf den Normierungswert $E^{\rm 1/2}$. | ||
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+ | Gesucht sind hierzu die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind: | ||
+ | * Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$). | ||
+ | * Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich | ||
+ | * Die Regionen sollen so bestimmt werden, dass sich beispielsweise für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt. | ||
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+ | Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, i ≠ k$). | ||
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+ | Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte | ||
+ | :$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | ||
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+ | eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen. | ||
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+ | * Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]]. | ||
+ | * Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet: | ||
+ | :$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | ||
+ | y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
Version vom 7. November 2017, 17:43 Uhr
Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum ($N = 2$) mit der Signalmenge:
- $$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$
jeweils bezogen auf den Normierungswert $E^{\rm 1/2}$.
Gesucht sind hierzu die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
- Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).
- Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich
- Die Regionen sollen so bestimmt werden, dass sich beispielsweise für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, i ≠ k$).
Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
- $$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50) eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen. ''Hinweise:'' * Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]]. * Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet: :$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
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