Aufgabe 1.6Z: Rayleigh und Rice im Vergleich

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Komplexer Faktor z(t) bei Rayleigh und Rice

In dieser Aufgabe sollen Rayleigh–Fading und Rice–Fading miteinander verglichen werden.

Die Grafik zeigt den komplexen Faktor $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$ in der komplexen Ebene. Für das TP–Sendesignal $s(t) = 1$, was bezüglich eines BP–Systems einer Cosinusschwingung mit der Amplitude $1$ entspricht, ist das TP–Empfangssignal $r(t)$ identisch mit $z(t)$.

Das obere Diagramm beschreibt Rayleigh–Fading, wobei die Komponentensignale $x(t)$ und $y(t)$ jeweils gaußverteilt sind mit Varianz $\sigma^2$. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Betrags $a(t) = |z(t)|$ lautet für $a ≥ 0$:

$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 }{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Der quadratische Erwartungswert von $z(t)$ ist $1$:

$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707 \hspace{0.05cm}.$$

Das untere Phasendiagramm entsteht bei Rice–Fading. Auch hier sind $x(t)$ und $y(t)$ gaußverteilt mit Varianz $\sigma^2$, aber nun mit Mittelwert $x_0$ bzw. $y_0$.

Die WDF lautet mit der modifizierten Besselfunktion ${\rm I}_0$ für $a ≥ 0$:

$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Der quadratische Mittelwert beinhaltet nun auch die Direktkomponente $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$:

$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Für den Systemvergleich

• wird von konstantem ${\rm E}[|z(t)|^2] = 1$ ausgegangen,
• wird beim Rice–Fading von der aus der Grafik erkennbaren Vorzugsrichtung ausgegangen,
• sei die Leistung zwischen Direktpfad ($|z_0|^2$) Streupfaden ($2\sigma^2$) im Verhältnis $4:1$ aufgeteilt.

Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $s(t) = 1$, während in den Teilaufgaben (5) bzw. (6) ein BPSK–Signal vorausgesetzt wird. Das TP–Signal $s(t)$ hat somit einen rechteckförmigen Verlauf mit den möglichen Werten $±1$. Die Dauer eines Rechteckimpulses sei $T = 10 \ \rm ms$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente.
• Die in der Grafik eingezeichneten Kreise (violett und grün) beziehen sich auf die Teilaufgaben (3) und (4).

Fragebogen

1

Wie ergibt sich aus dem Rice–Modell ein idealer Kanal ⇒ $H(f) = 1$?

	$x_0 = y_0 = 0, \sigma^2 = 1$.
	Mit $x_0 = 1, y_0 = 0, \sigma^2 = 0$.
	Mit $x_0 = 0, y_0 = 1, \sigma^2 = 0$.

2

Ermitteln Sie aus der komplexen $z(t)$–Darstellung auf der Angabenseite die verwendeten Rice–Parameter.

$\sigma \ = \ $

$x_0 \ = \ $

$y_0 \ = \ $

3

Bei welchem Kanal wird ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| ≤ –6 \ \rm dB)$ größer sein?

	Beim vorliegenden Rayleigh–Kanal.
	Beim vorliegenden Rice–Kanal.
	Die Wahrscheinlichkeiten sind näherungsweise gleich.

4

Bei welchem Kanal wird ${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| ≤ 0 \ \rm dB)$ größer sein?

	${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| ≤ 0 \ \rm dB)$ ist beim Rice–Kanal deutlich kleiner.
	${\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg} \, |z(t)| ≤ 0 \ \rm dB)$ ist beim Rice–Kanal deutlich größer.
	Die Wahrscheinlichkeiten sind näherungsweise gleich.

5

Welche Aussagen treffen für ein BPSK–Sendesignal $s(t)$ zu, wenn man die komplexe Darstellung des Empfangssignals $r(t)$ betrachtet?

	Rayleigh–Fading bewirkt Punktwolken in Quadrant 1 und 3.
	Rice–Fading bewirkt Punktwolken in Quadrant 1 und 3.
	Bei Rayleigh ist die WDF von $|r(t)|$ gleich der WDF von $|z(t)|$.
	Bei Rice ist die WDF von $|r(t)|$ gleich der WDF von $|z(t)|$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2. Der erste Vorschlag liefert ein Rayleigh–Fading–Modell. Mit der letzten Einstellung ergäbe sich:

$$|z(t)| = {\rm j} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t) \cdot z(t) = {\rm j} \cdot s(t) \hspace{0.05cm}.$$

Berücksichtigen wir, dass wir uns im äquivalenten Tiefpassbereich befinden, so würde dann bei einem cosinusförmigen Eingang ein minus–sinusförmiges Ausgangssignal $r_{\rm BP}(t)$ auftreten. Dagegen gilt mit dem Lösungsvorschlag 2 für alle möglichen Signale:

$$|z(t)| = x_0 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} r(t) = s(t) \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Beim gegebenem Rayleigh–Fading beträgt der Parameter $\sigma^2 = 0.5$. Damit ergibt sich für den quadratischen Mittelwert des multiplikativen Faktors $z(t)$:

$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \sigma^2 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Das Rice–Fading soll genau die gleiche Leistung besitzen. Das heißt, es soll gelten:

$$|z_0|^2 + 2 \sigma^2 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin wurde gefordert:

• Das Verhältnis der Leistungen von deterministischen Anteil ($|z_0|^2$) und stochastischem Anteil ($2\sigma^2$) sei $4$. Daraus folgt:

$$2 \sigma^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma^2 = 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma = \frac{1}{\sqrt{10}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.316} \hspace{0.05cm},$$

$$|z_0|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |z_0| = 0.894 \hspace{0.05cm}.$$

• Die Aufteilung von $z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0$ ergibt sich aus der Grafik. Man erkennt, dass $y_0 = x_0$ sein muss (Mittelpunkt der Wolke im ersten Quadranten unter $45°$):

$$x_0 = y_0 = \frac{|z_0|}{\sqrt{2}} = \frac{0.894}{\sqrt{2}} \hspace{0.25cm} \underline{ \approx 0.632} \hspace{0.05cm}.$$

(3) 

(4) 

(5)