Aufgaben:Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal

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Vorgegebene Rechteckantwort

Wir betrachten einen Mehrwegekanal, der durch folgende Impulsantwort charakterisiert wird:

$$h(\tau, t) = h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m) \hspace{0.05cm}.$$

Alle Koeffizienten $k_{\rm m}$ seien reell (positiv oder negativ). Weiterhin ist anzumerken:

• Aus der Angabe $h(\tau, t) = h(\tau)$ erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
• Allgemein weist der Kanal $M$ Pfade auf. Der $M$–Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
• Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen: $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ ...$

Die Grafik zeigt das Ausgangssignal $r(\tau)$ des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):

$$s(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le \tau < 5\,{\rm \mu s}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$

Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort $h(\tau)$ sowie die Übertragungsfunktion $H(f)$.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
• Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe (1) davon aus, dass sich die Impulsantwort $h(\tau)$ über 5 Mikrosekunden erstreckt.

Fragebogen

1

Wie lautet die Impulsantwort $h(\tau)$? Wie viele Pfade ($M$) gibt es hier?

$M \ = \ $

2

Geben Sie die drei ersten Verzögerungszeiten $\tau_m$ an.

$\tau_1 \ = \ $ $\ \rm \mu s,$

$\tau_2 \ = \ $ $\ \rm \mu s,$

$\tau_3 \ = \ $ $\ \rm \mu s.$

3

Wie lauten die Gewichte der drei ersten Diracimpulse?

$k_1 \ = \ $

$k_2 \ = \ $

$k_3 \ = \ $

4

Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Wie groß ist die Frequenzperiode $f_0$? Hinweis: Bei ganzzahligem $i$ muss $H(f + i \cdot f_0) = H(f)$ gelten.

$f_0 \ = \ $ $\ \rm kHz$

5

Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$, $f = 250 \ \rm kHz$ und $f = 500 \ \rm kHz$?

$|H(f = 0)| \ = \ $

$|H(f = 250 \ \rm kHz)| \ = \ $

$|H(f = 500 \ \rm kHz)| \ = \ $

6

Was ist der ungünstigste Wert für $k_3$ bezüglich der Frequenz $f = 250 \ \rm kHz$?

${\rm Worst \ Case \ für} \ f = 250 \ \rm kHz \text{:} \hspace{0.4cm} k_3 \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) ∗ h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm \mu s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ ... \ , \tau_M$ zusammengesetzt. Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls

• $\tau_1 = 0$ ist (sonst würde $r(\tau)$ nicht bei $\tau = 0$ beginnen),
• $\tau_M = 10 \ \rm \mu s$ ist (daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm \mu s$ und $15 \ \rm \mu s$).
• dazwischen noch eine Diracfunktion bei $\tau_2 = 2 \ \rm \mu s$ auftritt.

Das heißt: Die Impulsantwort setzt sich hier aus $\underline {M = 3}$ Diracfunktionen zusammen.

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

(6)