Aufgaben:Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal

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Vorgegebene Rechteckantwort

Wir betrachten einen Mehrwegekanal, der durch folgende Impulsantwort charakterisiert wird:

$$h(\tau, \ t) = h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m) \hspace{0.05cm}.$$

Alle Koeffizienten $k_{m}$ seien reell (positiv oder negativ). Weiterhin ist anzumerken:

• Aus der Angabe $h(\tau, t) = h(\tau)$ erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
• Allgemein weist der Kanal $M$ Pfade auf. Der $M$–Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
• Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen: $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ \text{...}$

Die Grafik zeigt das Ausgangssignal $r(\tau)$ des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):

$$s(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le \tau < 5\,{\rm \mu s}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$

Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort $h(\tau)$ sowie die Übertragungsfunktion $H(f)$.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
• Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe (1) davon aus, dass sich die Impulsantwort $h(\tau)$ über 5 Mikrosekunden erstreckt.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie lautet die Impulsantwort $h(\tau)$? Wie viele Pfade $(M)$ gibt es hier?

$M \ = \ $

2

Geben Sie die drei ersten Verzögerungszeiten $\tau_m$ an.

$\tau_1 \ = \ $ $\ \rm \mu s$

$\tau_2 \ = \ $ $\ \rm \mu s$

$\tau_3 \ = \ $ $\ \rm \mu s$

3

Wie lauten die Gewichte der drei ersten Diracimpulse?

$k_1 \ = \ $

$k_2 \ = \ $

$k_3 \ = \ $

4

Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Wie groß ist die Frequenzperiode $f_0$? Hinweis: Bei ganzzahligem $i$ muss $H(f + i \cdot f_0) = H(f)$ gelten.

$f_0 \ = \ $ $\ \rm kHz$

5

Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$, $f = 250 \ \rm kHz$ und $f = 500 \ \rm kHz$?

$|H(f = 0)| \ = \ $

$|H(f = 250 \ \rm kHz)| \ = \ $

$|H(f = 500 \ \rm kHz)| \ = \ $

6

Was ist der ungünstigste Wert (${\rm worst \ case})$ für $k_3$ bezüglich der Frequenz $f = 250 \ \rm kHz$?

$k_3 \ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) ∗ h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm \mu s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ ... \ , \tau_M$ zusammengesetzt. Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls

• $\tau_1 = 0$ ist (sonst würde $r(\tau)$ nicht bei $\tau = 0$ beginnen),
• $\tau_M = 10 \ \rm \mu s$ ist (daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm \mu s$ und $15 \ \rm \mu s$),
• dazwischen noch eine Diracfunktion bei $\tau_2 = 2 \ \rm \mu s$ auftritt.

Das heißt: Die Impulsantwort setzt sich hier aus $\underline {M = 3}$ Diracfunktionen zusammen.

(2)  Wie bereits bei der letzten Teilaufgabe berechnet, erhält man

$$\tau_1 \hspace{0.1cm} \underline {= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 2\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_3 \hspace{0.1cm} \underline {= 10\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Vergleicht man Eingang $s(\tau)$ und Ausgang $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:

• Intervall $0 < \tau < 2 \ {\rm \mu s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
• Intervall $2 \ {\rm \mu s} < \tau < 5 \ {\rm \mu s} \text{:} \, (k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, –0.50}$,
• Intervall $10 \ {\rm \mu s} < \tau < 15 \ {\rm \mu s} \text{:} \, k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.

(4)  Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort $h(\tau)$:

$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_2)+ k_3 \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_3) \hspace{0.05cm}. $$

Durch Analyse der einzelnen Beiträge kommt man zu folgendem Ergebnis:

• Der erste Anteil ist konstant  ⇒  Periode $f_1 → ∞$.
• Der zweite Anteil ist periodisch mit $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
• Der dritte Anteil ist periodisch mit $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.

⇒ Insgesamt ist damit $H(f)$ periodisch mit $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.

(5)  Mit $A = 2\pi f \cdot \tau_2$ und $B = 2\pi f \cdot \tau_3$ erhält man:

$$|H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} H(f) \cdot H^{\star}(f)= \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ] \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{{\rm j}B}\right ]=$$

$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {9}{16 }- \frac {3 {\rm e}^{{\rm j}A}}{8} +\frac {3{\rm e}^{{\rm j}B}}{16} - \frac {3{\rm e}^{-{\rm j}A}}{8} +\frac {1}{4}- \frac {{\rm e}^{{\rm j}(B-A)}}{8} +\frac {3{\rm e}^{-{\rm j}B}}{16} - \frac {{\rm e}^{{\rm j}(A-B)}}{8} +\frac{1}{16 }=$$

$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac {7}{8 }- \frac {3}{8} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}A} + {\rm e}^{-{\rm j}A}\right ]+ \frac {3}{16} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}B} + {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]- \frac {1}{8} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}(B-A)} + {\rm e}^{-{\rm j}(B-A)}\right ]\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergibt sich mit dem Satz von Euler unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:

$$|H(f)|= \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_2) + \frac {3}{8} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_3)- \frac {1}{4} \cdot \cos( 2 \pi f (\tau_3 - \tau_2))}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H(f = 0)|\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} + \frac {3}{8} - \frac {1}{4} } = \sqrt{0.25}\hspace{0.1cm} \underline {= 0.5} = |H(f = 500\,{\rm kHz})|$$

$$|H(f = 250\,{\rm kHz})|\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( \pi ) + \frac {3}{8} \cdot \cos( 5 \pi )- \frac {1}{4} \cdot \cos( 4 \pi )} \hspace{0.1cm} \underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$

(6)  Der soeben berechnete Frequenzgang kann für $f = 250 \ \rm kHz$ wie folgt dargestellt werden:

$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \pi}+ k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot 5\pi} = k_1 - k_2 - k_3 \hspace{0.05cm}.$$

Wählt man nun

$$k_3 = k_1 - k_2 = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm}, $$

so ergibt sich $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$ und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.

Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal

Die Grafik zeigt $|H(f)|$ im Bereich zwischen $0$ und $500 \ \rm kHz$. Die blaue Kurve gilt für $k_3 = 0.25$ entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe (4), die rote Kurve für $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert für $f = 250 \ \rm kHz$.