Aufgaben:Aufgabe 4.2: Kanal–LLR bei AWGN: Unterschied zwischen den Versionen

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* Die Übergangsgleichung lautet stets $y = x + n$, wobei $x ∈ \{+1, \, –1\}$ gilt und $n$ eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$  ⇒  Varianz $\sigma^2$ angibt  ⇒  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN–Kanal]].
 
* Die Übergangsgleichung lautet stets $y = x + n$, wobei $x ∈ \{+1, \, –1\}$ gilt und $n$ eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$  ⇒  Varianz $\sigma^2$ angibt  ⇒  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN–Kanal]].
 
* Die [[AWGN–Bitfehlerwahrscheinlichkeit]] berechnet sich mit der Streuung $\sigma$ zu ${\rm Q}(1/\sigma)$ wobei ${\rm Q}(x)$ die [[komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] bezeichnet.  
 
* Die [[AWGN–Bitfehlerwahrscheinlichkeit]] berechnet sich mit der Streuung $\sigma$ zu ${\rm Q}(1/\sigma)$ wobei ${\rm Q}(x)$ die [[komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] bezeichnet.  
* Für jeden AWGN–Kanal ergibt sich entsprechend dem [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]] das Kanal–LLR stets $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$. Die Konstante $K_{\rm L}$ ist für die beiden Kanäle unterschiedlich.
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* Für jeden AWGN–Kanal ergibt sich entsprechend dem [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]] das Kanal–LLR stets zu $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$. Die Konstante $K_{\rm L}$ ist für die beiden Kanäle unterschiedlich.
  
  

Version vom 6. Dezember 2017, 21:05 Uhr

Bedingte Gaußfunktionen

Wir betrachten zwei Kanäle A und B, jeweils mit

  • binärem bipolaren Eingang $x ∈ \{+1, \, –1\}$, und
  • wertkontinuierlichem Ausgang $y ∈ {\rm IR}$ (reelle Zahl).


Die Grafik zeigt für beide Kanäle A und B

  • als blaue Kurve die Dichtefunktionen $f_{y|x=+1}$,
  • als rote Kurve die Dichtefunktionen $f_{y|x=–1}$.


Im Theorieteil wurde für diese AWGN–Konstellation der Kanal–$L$–Wert (englisch: Channel Log Likelihood Ratio, oder kurz Channel LLR) wie folgt hergeleitet:

$$L_{\rm K}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=+1) }{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}.$$

Wertet man diese Gleichung analytisch aus, so erhält man mit der Proportionalitätskonstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$:

$$L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:


Fragebogen

1

Welche Eigenschaften weisen die in der Grafik dargestellten Kanäle auf?

Sie beschreiben die Binärübertragung bei Gaußscher Störung.
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ohne Codierung ist ${\rm Q}(1/\sigma)$.
Das Kanal–LLR ist als $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ darstellbar.

2

Welche Konstante $K_{\rm L}$ kennzeichnet den Kanal A?

${\rm Kanal \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} K_{\rm L} \ = \ $

3

Welche Informationen liefern bei Kanal A die Empfangswerte $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$ und $y_3 = \, –1.5$ über die gesendeten Binärsymbole $x_1, \ x_2$ bzw. $x_3$?

$y_1 = 1.0$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_1 = +1$ gesendet wurde.
$y_2 = 0.5$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_2 = +1$ gesendet wurde.
$y_3 = \, –1.5$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_3 = \, –1$ gesendet wurde.
Die Entscheidung „$y_1 → x_1$” ist sicherer als „$y_2 → x_2$”.
Die Entscheidung „$y_1 → x_1$” ist sicherer als „$y_3 → x_3$”.

4

Welche $K_{\rm L}$ kennzeichnet den Kanal B?

${\rm Kanal \ B} \text{:} \hspace{0.2cm} K_{\rm L} \ = \ $

5

Welche Informationen liefern bei Kanal B die Empfangswerte $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$ und $y_3 = \, –1.5$ über die gesendeten Binärsymbole $x_1, \ x_2$ bzw. $x_3$?

Für $x_1, \ x_2, \ x_3$ wird gleich entschieden wie bei Kanal A.
Die Schätzung „$x_2 = +1$” ist viermal sicherer als bei Kanal A.
Die Schätzung „$x_3 = \, –1$” bei Kanal A ist zuverlässiger als die Schätzung „$x_2 = +1$” bei Kanal B.


Musterlösung

(1)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

  • Die Übergangsgleichung lautet stets $y = x + n$, wobei $x ∈ \{+1, \, –1\}$ gilt und $n$ eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$  ⇒  Varianz $\sigma^2$ angibt  ⇒  AWGN–Kanal.
  • Die AWGN–Bitfehlerwahrscheinlichkeit berechnet sich mit der Streuung $\sigma$ zu ${\rm Q}(1/\sigma)$ wobei ${\rm Q}(x)$ die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet.
  • Für jeden AWGN–Kanal ergibt sich entsprechend dem Theorieteil das Kanal–LLR stets zu $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$. Die Konstante $K_{\rm L}$ ist für die beiden Kanäle unterschiedlich.


(2)  Beim AWGN–Kanal gilt $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ mit der Konstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$. Die Streuung $\sigma$ kann aus der Grafik auf der Angabenseite als der Abstand der Wendepunkte innerhalb der Gaußkurven von ihren jeweiligen Mittelpunkten abgelesen werden. Beim Kanal A ergibt sich $\sigma = 1$.

Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Auswertung der Gaußfunktion

$$\frac{f_{\rm G}( y = \sigma)}{f_{\rm G}( y = 0)} = {\rm e} ^{ - y^2/(2\sigma^2) } \Bigg |_{\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \sigma} = {\rm e} ^{ -0.5} \approx 0.6065\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet: Beim Abszissenwert $y = \sigma$ ist die mittelwertfreie Gaußfunktion $f_{\rm G}(y)$ auf $60.65\%$ ihres Maximalwertes abgeklungen. Somit gilt für die Konstante beim Kanal A: $K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 2}$.


(3)  Wir geben zunächst die jeweiligen $L$–Werte von Kanal A an:

$$L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L_{\rm K}(y_3 = -1.5) = -3\hspace{0.05cm}. $$

Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:

  • Die Entscheidung für das (wahrscheinlichste) Codebit $x_i$ wird aufgrund des Vorzeichens von $L_{\rm K}(y_i)$ getroffen: $x_1 = +1, \ x_2 = +1, \ x_3 = \, –1$  ⇒  die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3 sind richtig.
  • Die Entscheidung „$x_1 = +1$” ist wegen $|L_{\rm K}(y_1)| > |L_{\rm K}(y_3)|$ zuverlässiger als die Entscheidung „$x_2 = +1$”  ⇒  Lösungsvorschlag 4 ist ebenfalls richtig.
  • Die Entscheidung „$x_1 = +1$” ist aber weniger zuverlässig als die Entscheidung „$x_3 = \, –1$”, da $|L_{\rm K}(y_1)|$ kleiner als $|L_{\rm K}(y_3)|$ ist  ⇒  Lösungsvorschlag 5 ist falsch.


Dies kann man auch so interpretieren: Der Quotient zwischen dem roten und dem blauen WDF–Wert ist bei $y_3 = \, –1.5$ größer als der Quotient zwischen dem blauen und dem roten WDF–Wert bei $y_1 = +1$.


(4)  Nach gleichen Überlegungen wie bei der Teilaufgabe (2) ergibt sich für die Streuung von Kanal B: $\sigma = 1/2 \ \Rightarrow \ K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 8}$.


(5)  Für den Kanal B gilt: $L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +8, \ L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +4$ und $L_{\rm K}(y_3 = \, –1.5) = \, –12$. Damit ist offensichtlich, dass die beiden ersten Lösungsvorschläge zutreffen, nicht aber der dritte, weil

$$|L_{\rm K}(y_3 = -1.5, {\rm Kanal\hspace{0.15cm} A)}| = 3 \hspace{0.5cm} <\hspace{0.5cm} |L_{\rm K}(y_2 = 0.5, {\rm Kanal\hspace{0.15cm} B)}| = 4\hspace{0.05cm} . $$