Aufgaben:Aufgabe 2.15: RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet: | ||
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| + | \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Die Berechnung erfolgt für den [[AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung | ||
| + | :$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{\frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \big ) $$ | ||
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| + | in das [[BSC–Modell]] übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und [[komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[m–BSC–Modells]] gilt: | ||
| + | :$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m | ||
| + | \hspace{0.05cm},$$ | ||
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| + | wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (3 Bit pro Codesymbol). | ||
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| + | Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind alle Ergebnisse bereits in obiger Tabelle eingetragen. Die gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert. | ||
| + | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\epsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Der einfachste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über das Kompliment: | ||
Version vom 18. Dezember 2017, 16:17 Uhr
Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern
- $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole),
- $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole),
- $t = 2$ (Korrekturfähigkeit)
soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim Bounded Distance Decoding (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} =$$
- $$ = \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
Die Berechnung erfolgt für den AWGN–Kanal, der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung
- $$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{\frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \big ) $$
in das BSC–Modell übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des M–BSC–Modells gilt:
- $$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m \hspace{0.05cm},$$
wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (3 Bit pro Codesymbol).
Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind alle Ergebnisse bereits in obiger Tabelle eingetragen. Die gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert.
- Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\epsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Der einfachste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über das Kompliment:
Fragebogen
Musterlösung
