Aufgaben:Aufgabe 4.6Z: Ortskure bei Phasenmodulation: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = | + | Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt. |
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{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$ | {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$ | ||
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$? | {Wie lautet die Betragsfunktion $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$? Welcher Wert gilt für $t = 0$? | ||
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− | $a(t = 0)$ | + | $a(t = 0)\ = \ $ { 2 3% } |
{Zwischen welchen Extremwerten $\phi_{\rm min}$ und $\phi_{\rm max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$? | {Zwischen welchen Extremwerten $\phi_{\rm min}$ und $\phi_{\rm max}$ schwankt die Phase $\phi (t)$? | ||
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− | $\phi_{\rm min}$ | + | $\phi_{\rm min}\ = \ $ { -93--87 } $\text{Grad}$ |
− | $\phi_{\rm min}$ | + | $\phi_{\rm min}\ = \ $ { 180 3% } $\text{Grad}$ |
{Bestimmen Sie aus der Phasenfunktion $\phi (t)$ den Modulationsindex $\eta$. | {Bestimmen Sie aus der Phasenfunktion $\phi (t)$ den Modulationsindex $\eta$. | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\eta$ | + | $\eta\ = \ $ { 3.1415 3% } |
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? | {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? | ||
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− | - Aus $q(t) = | + | - Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$. |
+ Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (⇒ nur zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten. | + Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (⇒ nur zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten. | ||
− | + Mit den Signalwerten $\pm 1$ ( | + | + Mit den Signalwerten $\pm 1$ (es gilt dann nicht $q_{\rm min} = -0.5$) entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$. |
Version vom 24. Januar 2018, 17:06 Uhr
Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
- $$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
- $$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$
Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente TP-Signal wie folgt berechnen:
- $$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
2. Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:
- $\phi_{min} = –\hspace{-0.08cm} \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{–90^\circ}$,
- $\phi_{max} +\pi \; \Rightarrow \; \underline{+180^\circ}$.
3. Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}
\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
- $$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$. Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = –\pi /2$ und $q_{\rm min} = –0.5$ bestätigt.
4. Ist $q(t) = \text{const.} =\hspace{0.1cm} –\hspace{-0.05cm}0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
- $$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$
Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:
- $$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$. ⇒ Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $–\pi$, die aber identisch sind. Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{TP}(t) = \hspace{0.1cm}– s_0 \Rightarrow$ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
Richtig sind somit der zweite und der dritte Lösungsvorschlag.