Applets:Lineare Verzerrungen periodischer Signale

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Programmbeschreibung

Dieses Applet veranschaulicht die Auswirkungen von linearen Verzerrungen (Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen) anhand

Bedeutung der verwendeten Signale

• des Eingangssignals $x(t)$   ⇒   Leistung $P_x$:

$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right), $$

• des Ausgangssignals $y(t)$   ⇒   Leistung $P_y$:

$$y(t) = \alpha_1 \cdot x_1(t-\tau_1) + \alpha_2 \cdot x_2(t-\tau_2),$$

• des Matching–Ausgangssignals $z(t)$   ⇒   Leistung $P_z$:

$$z(t) = k_{\rm M} \cdot y(t-\tau_{\rm M}) + \alpha_2 \cdot x_2(t-\tau_2),$$

• des Differenzsignals   $\varepsilon(t) = z(t) - x(t)$   ⇒   Leistung $P_\varepsilon$.

Als nächster Block im obigen Modell folgt das „Matching”: Dabei wird das Ausgangssignal $y(t)$ mit für alle Frequenzen einheitlichen Größen $k_{\rm M}$ und $\tau_{\rm M}$ in Amplitude bzw. Phase angepasst. Dies ist also keine frequenzabhängige Entzerrung. Anhand des Signals $z(t)$ kann unterschieden werden

• zwischen einer Dämpfungsverzerrung und einer frequenzunabhängigen Dämpfung, sowie
• zwischen einer Phasenverzerrung und einer für alle Frequenzen gleichen Laufzeit.

Als Maß für die Stärke der linearen Verzerrungen wird die Verzerrungsleistung (englisch: Distortion Power) $P_{\rm D}$ verwendet. Für diese gilt:

$$P_{\rm D} = \min_{k_{\rm M}, \ \tau_{\rm M}} P_\varepsilon.$$

Theoretischer Hintergrund

Unter Verzerrungen (englisch: Distortions) versteht man allgemein die unerwünschte deterministische Veränderungen eines Nachrichtensignals durch ein Übertragungssystem. Sie sind bei vielen Nachrichtensystemen neben den stochastischen Störungen (Rauschen, Nebensprechen, etc.) eine entscheidende Begrenzung für die Übertragungsqualität und die Übertragungsrate.

Ebenso wie man die „Stärke” von Rauschen durch

• die Rauschleistung (englisch: Noise Power) $P_{\rm N}$ und
• das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis (englisch: Signal–to–Noise Ratio, SNR) $\rho_{\rm N}$

bewertet, verwendet man zur Quantifizierung der Verzerrungen

• die Verzerrungsleistung (englisch: Distortion Power) $P_{\rm D}$ und
• das Signal–zu–Verzerrungsleistungsverhältnis (englisch: Signal–to–Distortion Ratio, SDR)

$$\rho_{\rm D}=\frac{\rm Signalleistung}{\rm Verzerrungsleistung} = \frac{P_x}{P_{\rm D} }.$$

Lineare und nichtlineare Verzerrungen

Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Verzerrungen:

• Nichtlineare Verzerrungen gibt es, wenn zu allen Zeiten $t$ zwischen dem Signalwert $x = x(t)$ am Eingang und dem Ausgangssignalwert $y = y(t)$ der nichtlineare Zusammenhang $y = g(x) \ne {\rm const.} \cdot x$ besteht, wobei $y = g(x)$ die nichtlineare Kennlinie des Systems bezeichnet. Legt man an den Eingang ein Cosinussignal der Freuenz $f_0$ an, so beinhaltet das Ausgangssignal neben $f_0$ auch Vielfache hiervon   ⇒   so genannte Oberwellen. Durch nichtlineare Verzerrungen entstehen also neue Frequenzen.

Zur Verdeutlichung nichtlinearer Verzerrungen

Beschreibung eines linearen Systems

• Lineare Verzerrungen entstehen dann, wenn der Übertragungskanal durch einen Frequenzgang $H(f) \ne \rm const.$ charakterisiert wird. Dann werden unterschiedliche Frequenzen unterschiedlich gedämpft und unterschiedlich verzögert. Charakteristisch hierfür ist, dass zwar Frequenzen verschwinden können (zum Beispiel durch einen Tiefpass, einen Hochpass oder einen Bandpass), dass aber keine neuen Frequenzen entstehen.

In diesem Applet werden nur lineare Verzerrungen betrachtet.

Beschreibungsformen für den Frequenzgang

Der im Allgemeinen komplexe Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:

$$H(f) = |H(f)| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)} = {\rm e}^{-a(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b(f)}.$$

Daraus ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:

• Der Betrag $|H(f)|$ wird als Amplitudengang und in logarithmierter Form als Dämpfungsverlauf bezeichnet:

$$a(f) = - \ln |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Neper \hspace{0.1cm}(Np) } = - 20 \cdot \lg |H(f)|\hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Dezibel \hspace{0.1cm}(dB) }.$$

• Der Phasengang $b(f)$ gibt den negativen frequenzabhängigen Winkel von $H(f)$ in der komplexen Ebene an, bezogen auf die reelle Achse:

$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) \hspace{0.2cm}{\rm in \hspace{0.1cm}Radian \hspace{0.1cm}(rad)}.$$

Tiefpass N–ter Ordnung

Dämpfungsverlauf und Phasenverlauf eines Tiefpasses N–ter Ordnung

Der Frequenzgang eines realisierbaren Tiefpasses N–Ordnung lautet:

$$H(f) = \left [\frac{1}{1 + {\rm j}\cdot f/f_0 }\right ]^N\hspace{0.05cm}.$$

Ein einfacher RC–Tiefpass hat diesen Verlauf mit $N=1$. Damit erhält man

• den Dämpfungsverlauf:

$$a(f) =N/2 \cdot \ln [1+( f/f_0)^2] \hspace{0.05cm},$$

• den Phasenverlauf:

$$b(f) =N \cdot \arctan( f/f_0) \hspace{0.05cm},$$

• den Dämpfungsfaktor für die Frequenz $f=f_i$:

$$\alpha_i =|H(f = f_i)| = [1+( f/f_0)^2]^{-N/2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)= \alpha_i \cdot A_i\cdot \cos(2\pi f_i t)\hspace{0.05cm},$$

• die Phasenlaufzeit für die Frequenz $f=f_i$:

$$\tau_i =\frac{b(f_i)}{2 \pi f_i} = \frac{N \cdot \arctan( f_i/f_0)}{2 \pi f_i}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)=A_i\cdot \cos(2\pi f_i (t- \tau_i))\hspace{0.05cm}.$$

Hochpass N–ter Ordnung

Dämpfungsverlauf und Phasenverlauf eines Hochpasses N–ter Ordnung

Der Frequenzgang eines realisierbaren Hochpasses N–Ordnung lautet:

$$H(f) = \left [\frac{ {\rm j}\cdot f/f_0 }{1 + {\rm j}\cdot f/f_0 }\right ]^N\hspace{0.05cm}.$$

Ein einfacher LC–Tiefpass hat diesen Verlauf mit $N=1$. Damit erhält man

• den Dämpfungsverlauf:

$$a(f) =N/2 \cdot \ln [1+( f_0/f)^2] \hspace{0.05cm},$$

• den Phasenverlauf:

$$b(f) =-N \cdot \arctan( f_0/f) \hspace{0.05cm},$$

• den Dämpfungsfaktor für die Frequenz $f=f_i$:

$$\alpha_i =|H(f = f_i)| = [1+( f_0/f)^2]^{-N/2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)= \alpha_i \cdot A_i\cdot \cos(2\pi f_i t)\hspace{0.05cm},$$

• die Phasenlaufzeit für die Frequenz $f=f_i$:

$$\tau_i =\frac{b(f_i)}{2 \pi f_i} = \frac{-N \cdot \arctan( f_0/f_i)}{2 \pi f_i}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t)= A_i\cdot \cos(2\pi f_i t) \hspace{0.1cm}\rightarrow \hspace{0.1cm} y(t)=A_i\cdot \cos(2 \pi f_i (t- \tau_i))\hspace{0.05cm}.$$

Phasenfunktion $b(f)$ von Tiefpass und Hochpass

$\text{Beispiel:}$  Die Grafik zeigt jeweils für die Grenzfrequenz $f_0 = 1\ \rm kHz$ und die Ordnung $N=1$ die Phasenfunktion $b(f)$

• eines Tiefpasses (englisch: low–pass) als grüne Kurve, und
• eines Hochpasses (englisch: high–pass) als violette Kurve.

Das Eingangssignal sei jeweils sinusförmig mit der Frequenz $f_{\rm S} = 1.25\ {\rm kHz}$, wobei dieses Signal erst zum Zeitpunkt $t=0$ eingeschaltet wird:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.75cm}0 \\ \sin(2\pi \cdot f_{\rm S} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array}\begin{array} \ t < 0, \\ t>0. \\ \end{array}$$

In der linken (blau umrandeten) Grafik ist dieses Signal $x(t)$ dargestellt. Der Zeitpunkt $t = T_0 = 0.8\ {\rm ms}$ der ersten Nullstelle ist durch eine gestrichelte Linie markiert. Die beiden anderen Grafiken zeigen die Ausgangssignale $y_{\rm TP}(t)$ und $y_{\rm HP}(t)$ von Tiefpass und Hochpass, wobei in beiden Fällen die Amplitudenänderungen ausgeglichen wurden.

Eingangssignal $x(t)$ sowie Ausgangssignale $y_{\rm TP}(t)$ und $y_{\rm HP}(t)$

• Die erste Nullstelle des Signals $y_{\rm TP}(t)$ nach dem Tiefpass kommt um $\tau_{\rm TP} = 0.9/(2\pi) \cdot T_0 \approx 0.115 \ {\rm ms}$ später als die erste Nullstelle von $x(t)$   ⇒   markiert mit grünem Pfeil, wobei $b_{\rm TP}(f/f_{\rm S} )= 0.9 \ {\rm rad}$ berücksichtigt wurde.
• Dagegen ist die Laufzeit des Hochpasses negativ: $\tau_{\rm HP} = -0.67/(2\pi) \cdot T_0 \approx 0.085 \ {\rm ms}$ und die erste Nullstelle von $y_{\rm HP}(t)$ kommt deshalb vor der weißen Markierung.
• Nach diesem Einschwingvorgang kommen in beiden Fällen die Nulldurchgänge wieder im Raster der Periodendauer $T_0 = 0.8 \ {\rm ms}.$

Anmerkung: Die gezeigten Signalverläufe wurden mit dem intereaktiven Applet Kausale Systeme – Laplacetransformation erstellt.

Dämpfungsverzerrungen und Phasenverzerrungen

Voraussetzung für einen nichtverzerrenden Kanal

Die nebenstehende Grafik zeigt

• den geraden Dämpfungsverlauf $a(f)$   ⇒   $a(-f) = a(f)$, und
• den ungeraden Phasenverlauf $b(f)$   ⇒   $b(-f) = -b(- f)$

eines verzerrungsfreien Systems. Man erkennt:

• Bei einem verzerrungsfreien Systems muss in einem Bereich von $f_{\rm U}$ bis $f_{\rm O}$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, in dem das Signal $x(t)$ Anteile besitzt, die Dämpfungsfunktion $a(f)$ konstant sein.
• Aus dem angegebenen konstanten Dämpfungswert $6 \ \rm dB$ folgt für den Amplitudengang $|H(f)| = 0.5$   ⇒   die Signalwerte aller Frequenzen werden somit durch das System halbiert   ⇒   keine Dämpfungsverzerrungen.
• Zusätzlich muss bei einem solchen Systems der Phasenverlauf $b(f)$ zwischen $f_{\rm U}$ und $f_{\rm O}$ linear mit der Frequenz ansteigen. Dies hat zur Folge, dass alle Frequenzanteile um die gleiche Phasenlaufzeit $τ$ verzögert werden   ⇒   keine Phasenverzerrungen.
• Die Verzögerung $τ$ liegt durch die Steigung von $b(f)$ fest. Mit $b(f) = 0$ würde sich ein laufzeitfreies System ergeben   ⇒   $τ = 0$.

Die folgende Zusammenfassung berücksichtigt, dass in diesem Applet das Einganssignal stets die Summe zweier harmonischer Schwingungen ist:

$$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Damit wird der Kanaleinfluss durch die Dämpfungsfaktoren $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sowie die Phasenlaufzeiten $\tau_1$ und $\tau_2$ vollständig beschrieben:

$$y(t) = \alpha_1 \cdot x_1(t-\tau_1) + \alpha_2 \cdot x_2(t-\tau_2).$$

$\text{Fazit:}$ 

• Ein Signal $y(t)$ ist gegenüber dem Eingang $x(t)$ nur dann unverzerrt, wenn $\alpha_1 = \alpha_2= \alpha$   und   $\tau_1 = \tau_2= \tau$ gilt   ⇒   $y(t) = \alpha \cdot x(t-\tau)$.
• Dämpfungsverzerrungen ergeben sich, falls $\alpha_1 \ne \alpha_2$ ist . Ist $\alpha_1 \ne \alpha_2$ und $\tau_1 = \tau_2$, so liegen ausschließlich Dämpfungsverzerrungen vor.
• Phasenverzerrungen gibt es für $\tau_1 \ne \tau_2$. Ist $\tau_1 \ne \tau_2$ und $\alpha_1 = \alpha_2$, so liegen ausschließlich Phasenverzerrungen vor.

Vorschlag für die Versuchsdurchführung

BlaBla

(1)   Für das Sendesignal $x(t)$ gelte $A_1 = 0.8\ {\rm V}, \ A_2 = 0.6\ {\rm V}, \ f_1 = 0.5\ {\rm kHz}, \ f_2 = 1.5\ {\rm kHz}, \ \varphi_1 = 90^\circ, \ \varphi_2 = 0^\circ$.

Wie groß ist die Periodendauer $T_0$? Welche Leistung $P_x$ weist dieses Signal auf? Wo können Sie diesen Wert im Programm ablesen?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}T_0 = \big [\hspace{-0.1cm}\text{ größter gemeinsamer Teiler }(0.5 \ {\rm kHz}, \ 1.5 \ {\rm kHz})\big ]^{-1}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.0 \ {\rm ms}};$

$\hspace{1.85cm} P_x = A_1^2/2 + A_2^2/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \ {\rm V^2}} = P_\varepsilon\text{, wenn }\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 0} \ \Rightarrow \ z(t) \equiv 0$.

(2)   Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter (1) die Phase $\varphi_2$ im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ$. Wie ändern sich $T_0$ und $P_x$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Keine Veränderungen:}\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{ T_0 = 2.0 \ {\rm ms}; \hspace{0.2cm} P_x = 0.5 \ {\rm V^2}}$.

(3)   Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter (1) die Frequenz $f_2$ im Bereich $0 \le f_2 \le 5\ {\rm kHz}$. Wie ändert sich die Signalleistung $P_x$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Keine Veränderungen, falls }f_2 \ne 0\text{ oder } f_2 \ne f_1\text{:}\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{P_x = 0.5 \ {\rm V^2}}\text{.} \hspace{0.2cm} T_0 \text{ ändert sich, falls }f_2\text{ kein Vielfaches von }f_1$.

$\hspace{1.85cm}\text{Falls }f_2 = 0\text{:}\hspace{0.2cm} P_x = A_1^2/2 + A_2^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.68 \ {\rm V^2}}$. $\hspace{3cm}\text{Allgemeine Formel noch überprüfen}$

$\hspace{1.85cm}\text{Falls }f_2 = f_1\text{:}\hspace{0.2cm} P_x = [A_1\cos(\varphi_1) + A_2\cos(\varphi_2)]^2/2 + [A_1\sin(\varphi_1) + A_2\sin(\varphi_2)]^2/2 \text{. Mit } \varphi_1 = 90^\circ, \ \varphi_2 = 0^\circ\text{:}\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{ P_x = 0.5 \ {\rm V^2}}\text{.} $

(4)   Ausgehend vom bisherigen Sendesignal $x(t)$ gelte für den Kanal: $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5, \ \tau_1 = \tau_2 = 0.5\ {\rm ms}$. Zudem sei $k_{\rm M} = 1 \text{ und } \tau_{\rm M} = 0$ .

Gibt es lineare Verzerrungen? Wie groß ist die Empfangsleistung $P_y$ und die Leistung $P_\varepsilon$ des Differenzsignals $\varepsilon(t) = z(t) - x(t)$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{ y(t) = 0.5 \cdot x(t- 1\ {\rm ms})}\text{ ist unverzerrt, nur gedämpft und verzögert.}$

$\hspace{1.85cm}\text{Empfangsleistung:}\hspace{0.2cm} P_y = (A_1/2)^2/2 + (A_2/2)^2/2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125 \ {\rm V^2}}\text{. } P_\varepsilon \text{ ist deutlich größer:} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline{P_\varepsilon = 0.625 \ {\rm V^2}}.$

(5)   Variieren Sie bei sonst gleicher Einstellung wie unter (4) die Matchingparameter $k_{\rm M} \text{ und } \tau_{\rm M}$. Wie groß ist die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D}\text{ ist gleich der Leistung }P_\varepsilon \text{ des Differenzsignals bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}k_{\rm M} = 2 \text{ und } \tau_{\rm M}=T_0 - 0.5\ {\rm ms} = 1.5\ {\rm ms}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}z(t) = x(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon(t) = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm D}\hspace{0.15cm}\underline{ = P_\varepsilon = 0} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{weder Dämpfungs- noch Phasenverzerrungen.}$

(6)   Für den Kanal gelte nun $\alpha_1 = 0.5, \hspace{0.15cm}\underline{\alpha_2 = 0.2}, \ \tau_1 = \tau_2 = 0.5\ {\rm ms}$. Wie groß sind nun die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$ und das $\rm SDR$ $\rho_{\rm D}$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D} = P_\varepsilon \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 2.24} \text{ und } \hspace{0.15cm}\underline{\tau_{\rm M} = 1.5\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} = 0.059 \ {\rm V^2}}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Nur Dämpfungsverzerrungen.} \hspace{0.3cm}\text{Signal-zu-Verzerrung-Leistungsverhältnis}\ \hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} = P_x/P_\varepsilon \approx 8.5}$.

(7)   Für den Kanal gelte nun $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5, \ \tau_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 2\ {\rm ms} }, \ \tau_2 = 0.5\ {\rm ms}$. Wie groß sind nun $P_{\rm D}$ und $\rho_{\rm D}$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm D} = P_\varepsilon \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 1.82} \text{ und } \tau_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.15\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} = 0.072 \ {\rm V^2}}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Nur Phasenverzerrungen.} \hspace{0.3cm}\text{Signal-zu-Verzerrung-Leistungsverhältnis}\ \hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} = P_x/P_\varepsilon \approx 7}$.

(8)   The channel parameters are now set to: $\hspace{0.15cm}\underline{\alpha_1 = 0.5} , \hspace{0.15cm}\underline{\alpha_2 = 0.2} , \ \hspace{0.15cm}\underline{\tau_1= 0.5\ {\rm ms} }, \ \hspace{0.15cm}\underline{\tau_2 = 0.3\ {\rm ms} }$. Are there attenuation distortions? Are there phase distortions? How can $y(t)$ be approximated? How can $y(t)$ be approximated? Annotation: $\cos(3x) = 4 \cdot \cos(x)^3 - 3\cdot \cos(x).$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Both attenuation and phase distortions, because }\alpha_1 \ne \alpha_2\text{ and }\tau_1 \ne \tau_2$.

$\hspace{1.85cm}\text{Es gilt }y(t) = y_1(t) + y_2(t)\ \Rightarrow \ y_1(t) = A_1 \cdot \alpha_1 \cdot \sin[2\pi f_1\ (t- 0.5\ \rm ms)] = -0.4 \ {\rm V} \cdot \cos(2\pi f_1 t)$ $\hspace{1.85cm} \ y_2(t) = \alpha_2 \cdot x_2(t- \tau_2) \text{ mit }x_2(t) = A_2 \cdot \cos[2\pi f_2\ (t- 30^\circ)] \approx A_2 \cdot \cos[2\pi f_2\ (t- 1/36 \ \rm ms)]$ $\hspace{1.85cm} \Rightarrow \ y_2(t) = 0.12 \ {\rm V} \cdot \cos[2\pi f_2\ (t- 0.328 \ {\rm ms})] \approx -0.12 \ { \rm V} \cdot \cos[2\pi f_2t] $. $\hspace{1.85cm} \Rightarrow \ y(t) = y_1(t) + y_2(t) \approx -0.4 \ {\rm V} \cdot [\cos(2\pi \cdot f_1\cdot t) + 1/3 \cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_1 \cdot t) = -0.533 \ {\rm V} \cdot \cos^3(2\pi f_1 t)$.

(9)   Assuming the parameters from (8). Calculate the distortion power $P_{\rm D}$ and the SDR $\rho_{\rm D}$?

$\hspace{1.0cm}\text{Best possible adaptation:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 1.96} \text{, } \hspace{0.15cm}\underline{\tau_{\rm M} = 1.65\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} = 0.156 \ {\rm V^2} },\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} = 0.500/0.156 \approx 3.2}$.

(10)  Now we set $A_2 = 0$ and $A_1 = 1\ {\rm V}, \ f_1 = 1\ {\rm kHz}, \ \varphi_1 = 0^\circ$. The channel is a Low-pass of order 1 $\underline{(f_0 = 1\ {\rm kHz})}$.
Are there any attenuation or phase distortions? Calculate the channel coefficients $\alpha_1$ and $\tau_1$

$\hspace{1.0cm}\text{At only one frequency there are neither attenuation nor phase distortions.}$ $\hspace{1.0cm}\text{Attenuation factor for }f_1=f_0\text{ and }N=1\text{: }\alpha_1 =|H(f = f_1)| = [1+( f_1/f_0)^2]^{-N/2} = 2^{-1/2}= 1/\sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline{=0.707},$ $\hspace{1.0cm}\text{Phase factor for }f_1=f_0\text{ and }N=1\text{: }\tau_1 = N \cdot \arctan( f_1/f_0)/(2 \pi f_i)=\arctan( 1)/(2 \pi f_i) =1/(8f_1) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \ \rm ms}.$

(8)   Für den Kanal gelte nun $\hspace{0.15cm}\underline{\alpha_1 = 0.5} , \hspace{0.15cm}\underline{\alpha_2 = 0.2} , \ \hspace{0.15cm}\underline{\tau_1= 2\ {\rm ms} }, \ \hspace{0.15cm}\underline{\tau_2 = 0.5\ {\rm ms} }$. Wie groß sind nun $P_{\rm D}$ und $\rho_{\rm D}$? Wie lässt sich $y(t)$ annähern?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Dämpfungs- und Phasenverzerrungen. Bestmögliche Anpassung:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{k_{\rm M} = 2.06} \text{, } \hspace{0.15cm}\underline{\tau_{\rm M} = 0.15\ {\rm ms} }\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} = 0.136 \ {\rm V^2}},\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{\rho_{\rm D} \approx 3.7}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Zusammenfassen von }\varphi \text{- und } \tau\text{-Parameter: } y(t) = 0.4 \ {\rm V} \cdot \sin\ (2\pi f_1 t) - 0.12 \ {\rm V} \cdot \sin\ (2\pi \cdot 3f_1\cdot t) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.52 \ {\rm V} \cdot \sin^3(2\pi f_1 t)}$.

(9)   Nun gelte $\underline{A_1 = A_2 = 1\ {\rm V}, \ f_1 = 1\ {\rm kHz}, \ f_2 = 1\ {\rm kHz}, \ \varphi_1 = 0^\circ, \ \varphi_2 = 0^\circ}$. Der Kanal sei ein Tiefpass erster Ordnung $\underline{(f_0 = 1\ {\rm kHz})}$.

Gibt es Dämpfungsverzerrungen? Gibt es Phasenverzerrungen? Wie groß ist nun die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Dämpfungsverzerrungen, da }\hspace{0.15cm}\underline{\alpha_1 = 0.71 \ne \alpha_2 = 0.45} \text{; geringere Phasenverzerrungen, da }\hspace{0.15cm}\underline{ \tau_1 = 0.13 \ {\rm ms} \approx \tau_2 = 0.09 \ {\rm ms}}$.

$\hspace{1.85cm}\text{ Verzerrungsleistung }\hspace{0.15cm}\underline{P_{\rm D} = 0.074 \ {\rm V^2}} \text{ bei bestmöglicher Anpassung:} \hspace{0.2cm}k_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.6} \text{ und } \tau_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9\ {\rm ms} }$.

(10)   Wie ändern sich die Kanalparameter durch einen Tiefpass zweiter Ordnung gegenüber einem Tiefpass erster Ordnung $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$.

Wie groß ist nun die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$? Wie groß ist nun die Verzerrungsleistung $P_{\rm D}$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Es gilt }\hspace{0.15cm}\underline{\alpha_1 = 0.71^2 \approx 0.5, \alpha_2 = 0.45^2 \approx 0.5, \tau_1 = 2 \cdot 0.13 \approx 0.25 \ {\rm ms} \tau_2 = 2 \cdot 0.09 \ {\rm ms} \approx 0.18 \ {\rm ms}} $.

$\hspace{1.85cm}P_{\rm D} = 0.228 \ {\rm V^2} \text { ist größer und der 2 kHz-Anteil wird im Vergleich zum 2 kHz-Anteil noch mehr unterdrückt}$.

(11)   Welche Unterschiede ergeben sich bei einem Hochpass zweiter Ordnung gegenüber einem Tiefpass zweiter Ordnung $(f_0 = 1\ {\rm kHz})$.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{???????????????}$

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Parametereingabe per Slider

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Variationsmöglichkeit für die graphische Darstellung

    (D)     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

    (F)     Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

    (G)     Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

    (H)     Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

Details zum obigen Punkt (C)

    (*)   Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

    (*)   Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

    (*)   Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

    (*)   Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2018 wurde dieses Programm von Jimmy He im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Tasnád Kernetzky – Mitarbeiter der Professur „Leitungsgebundene Übertragungstechnik„)) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

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