Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
K (Guenter verschob die Seite 1.1Z Tiefpass 1. und 2. Ordnung nach Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung) |
|||
Zeile 2: | Zeile 2: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}} | {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}} | ||
==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung== | ==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung== | ||
− | [[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– und Phasenfunktion|right]] | + | [[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– und Phasenfunktion|right|frame]] |
− | Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe | + | Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] – hat folgenden Frequenzgang: |
− | $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ | + | :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$ |
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter | Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter | ||
* oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$, | * oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$, | ||
* unten der ''Phasenverlauf'' $b_1(f)$ . | * unten der ''Phasenverlauf'' $b_1(f)$ . | ||
+ | |||
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung: | Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung: | ||
− | $$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$ | + | :$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$ |
In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt: | In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt: | ||
$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$ | $$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
Zeile 31: | Zeile 36: | ||
{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. Welche dB–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$? | {Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. Welche dB–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $a_1(f = f_0)$ | + | $a_1(f = f_0)\ = \ $ { 3.01 5% } $\text{dB}$ |
− | $a_1(f = 2f_0)$ | + | $a_1(f = 2f_0)\ = \ $ { 6.99 5% } $\text{dB}$ |
{Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$? | {Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $b_1(f = f_0)$ | + | $b_1(f = f_0)\ = \ $ { 0.786 5% } $\text{rad}$ |
− | $b_1(f = 2f_0)$ | + | $b_1(f = 2f_0)\ = \ $ { 1.108 5% } $\text{rad}$ |
{Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? Welche dB–Werte erhält man mit $n = 2$ für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$? | {Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? Welche dB–Werte erhält man mit $n = 2$ für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $a_2(f = f_0)$ | + | $a_2(f = f_0)\ = \ $ { 6.02 5% } $\text{dB}$ |
− | $a_2(f = -2f_0)$ | + | $a_2(f = -2f_0)\ = \ $ { 13.98 5% } $\text{dB}$ |
{Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$? | {Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $b_2(f = f_0)$ | + | $b_2(f = f_0)\ = \ $ { 1.571 5% } $\text{rad}$ |
− | $b_2(f = -2f_0)$ | + | $b_2(f = -2f_0)\ = \ $ { -2.23--2.20 } $\text{rad}$ |
Version vom 15. Februar 2018, 11:21 Uhr
Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend Aufgabe 1.1 – hat folgenden Frequenzgang:
- $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
- oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$,
- unten der Phasenverlauf $b_1(f)$ .
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
- $$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt: $$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Frequenzbereich.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
- $$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
- Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
- $$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
Fragebogen
Musterlösung
(2) Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
Damit ergibt sich für den Phasengang:
$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
(3) Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:
$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:
$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:
$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
Die dB–Werte lauten nun:
- $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$,
- $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.
Damit ist offensichtlich, dass für $n$ > 1 der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. Für $n = 2$ ⇒ „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang: ${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}$.
(4) Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$
Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist
- $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
- $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.
Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.