Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Signalverläufe: Unterschied zwischen den Versionen
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− | {Für das Signal (D) wird die relative Häufigkeit $h_0$ empirisch über $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt? | + | {Für das Signal $\rm (D)$ wird die relative Häufigkeit $h_0$ empirisch über $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt? |
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− | ${\rm Min[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ ] \ = \ $ { 0.975 3% } | + | ${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 0.975 3% } |
− | {Wieviele Symbole ( | + | {Wieviele Symbole $(N_\min)$ müsste man für diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen $0.499$ und $0.501$” größer als $99\%$ ist? |
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$N_\min \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$ | $N_\min \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$ | ||
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− | '''(1)''' Die Zufallsgrößen (C) und (D) sind binär ( | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>: |
+ | *Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$, | ||
+ | *während die Zufallsgröße $\rm (E)$ dreiwertig ist. | ||
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+ | *Die Zufallsgröße $\rm (A)$ ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. | ||
+ | *Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret. | ||
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+ | '''(3)''' Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | ||
+ | *Nur die Zufallsgröße $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und | ||
+ | *außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$). | ||
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'''(4)''' Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt: | '''(4)''' Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt: | ||
− | $$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$ | + | :$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$ |
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar: | Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar: | ||
− | $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} | + | :$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} |
− | {\rm Min}[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$ | + | {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$ |
+ | |||
'''(5)''' Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen: | '''(5)''' Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen: | ||
− | $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$ | + | :$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$ |
Aufgelöst nach $N$ erhält man: | Aufgelöst nach $N$ erhält man: | ||
− | $$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 | + | :$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 |
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} | \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} | ||
{\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$ | {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$ |
Version vom 2. August 2018, 16:28 Uhr
Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale $\rm (A)$, $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.
Im Einzelnen sind dargestellt:
$\rm (A)$: ein dreieckförmiges periodisches Signal,
$\rm (B)$: das Signal $\rm (A)$ nach Einweggleichrichtung,
$\rm (C)$: ein rechteckförmiges periodisches Signal,
$\rm (D)$: ein rechteckförmiges Zufallssignal,
$\rm (E)$: das Zufallssignal $\rm (D)$ nach AMI-Codierung; hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit „$+2\hspace{0.03cm}\rm V$” und „$-2\hspace{0.03cm} \rm V$” codiert wird.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$,
- während die Zufallsgröße $\rm (E)$ dreiwertig ist.
(2) Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 1:
- Die Zufallsgröße $\rm (A)$ ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
- Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret.
(3) Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 2:
- Nur die Zufallsgröße $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
- außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$).
(4) Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt:
- $$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
- $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$
(5) Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen:
- $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
Aufgelöst nach $N$ erhält man:
- $$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$