Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Signalverläufe: Unterschied zwischen den Versionen

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{F&uuml;r das Signal (D) wird die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?
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{F&uuml;r das Signal $\rm (D)$ wird die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?
 
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${\rm Min[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ ] \ = \ $ { 0.975 3% }
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${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 0.975 3% }
  
  
{Wieviele Symbole ($N_\min$) m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen 0.499 und 0.501&rdquo; größer als $99\%$ ist?
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{Wieviele Symbole $(N_\min)$ m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen $0.499$ und $0.501$&rdquo; größer als $99\%$ ist?
 
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$N_\min \ =  \ $  { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$
 
$N_\min \ =  \ $  { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Die Zufallsgrößen (C) und (D) sind binär ($M= 2$), w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e (E) dreiwertig ist. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5.</u>
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:
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*Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$,  
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*w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (E)$ dreiwertig ist.  
  
'''(2)'''&nbsp; Die <u>Zufallsgr&ouml;&szlig;e (A)</u> ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annehmen. Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret.
 
  
'''(3)'''&nbsp; Nur die <u>Zufallsgr&ouml;&szlig;e (B)</u> hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$).
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
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*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (A)$ ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
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*Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
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*Nur die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und  
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*au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$).
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'''(4)'''&nbsp; Nach dem Bernoullischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen gilt:
 
'''(4)'''&nbsp; Nach dem Bernoullischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen gilt:
$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
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:$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
  
 
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
 
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
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:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
{\rm Min}[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$
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{\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
 
'''(5)'''&nbsp; Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot  \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
+
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot  \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
 
Aufgel&ouml;st nach $N$ erh&auml;lt man:
 
Aufgel&ouml;st nach $N$ erh&auml;lt man:
$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8
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:$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
{\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$
 
{\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$

Version vom 2. August 2018, 16:28 Uhr

Wertdiskret oder wertkontinuierlich?

Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale $\rm (A)$, $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.

Im Einzelnen sind dargestellt:

$\rm (A)$:   ein dreieckförmiges periodisches Signal,

$\rm (B)$:   das Signal $\rm (A)$ nach Einweggleichrichtung,

$\rm (C)$:   ein rechteckförmiges periodisches Signal,

$\rm (D)$:   ein rechteckförmiges Zufallssignal,

$\rm (E)$:   das Zufallssignal $\rm (D)$ nach  AMI-Codierung;   hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit „$+2\hspace{0.03cm}\rm V$” und „$-2\hspace{0.03cm} \rm V$” codiert wird.



Hinweise:



Fragebogen

1

Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgröße?
Überlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl $M$.

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

2

Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschließlich) kontinuierliche Zufallsgröße?

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

3

Welche Zufallsgrößen besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

4

Für das Signal $\rm (D)$ wird die relative Häufigkeit $h_0$ empirisch über $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt.
Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?

${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $

5

Wieviele Symbole $(N_\min)$ müsste man für diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen $0.499$ und $0.501$” größer als $99\%$ ist?

$N_\min \ = \ $

$\ \cdot 10^9$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 3, 4 und 5:

  • Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$,
  • während die Zufallsgröße $\rm (E)$ dreiwertig ist.


(2)  Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 1:

  • Die Zufallsgröße $\rm (A)$ ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
  • Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret.


(3)  Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 2:

  • Nur die Zufallsgröße $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
  • außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$).


(4)  Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt:

$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$


(5)  Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$

Aufgelöst nach $N$ erhält man:

$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$