Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Prüfungskorrektur: Unterschied zwischen den Versionen

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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
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*Gerade im Schulbereich wird die „Gaußverteilung”  oft als  „Normalverteilung” bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt:  
 
*Gerade im Schulbereich wird die „Gaußverteilung”  oft als  „Normalverteilung” bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt:  
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{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen? Berücksichtigen Sie, dass man $z$ als kontinuierliche Zufallsgröße auffassen kann.
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{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen? <br>Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass man $z$ als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
 
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$N_\text{4.3 ... 5.0}  \ =  \ $ { 81 3% }
 
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{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“? Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
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{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“? <br>Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
 
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$N_\text{2.7}  \ =  \ $ { 146 3% }
 
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*Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abh&auml;ngigen Aufgaben keine Gaußverteilung.  
 
*Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abh&auml;ngigen Aufgaben keine Gaußverteilung.  
 
*Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung (0 Punkte oder Maximalpunktzahl).  
 
*Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung (0 Punkte oder Maximalpunktzahl).  
*Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer &bdquo;Normalverteilung&bdquo; rechnen k&ouml;nnen.
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*Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer &bdquo;Normalverteilung&rdquo; rechnen k&ouml;nnen.
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'''(2)'''&nbsp; Man bekommt eine &bdquo;1.0&rdquo; mit $82$ Punkten oder mehr. Deshalb gilt mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung  $\sigma_z = 10$:
 
'''(2)'''&nbsp; Man bekommt eine &bdquo;1.0&rdquo; mit $82$ Punkten oder mehr. Deshalb gilt mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung  $\sigma_z = 10$:
$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2)
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:$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2)
 
\hspace{0.15cm}{=\rm 0.0139}.$$
 
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Bei 1000 Teilnehmern folgt daraus <i>N</i><sub>1.0</sub> <u>= 14</u>.
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Bei tausend Teilnehmern folgt daraus $N_\text{1.0}\hspace{0.15cm}\underline{= 14}$.
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'''(3)'''&nbsp; Mit weniger als $46$ Punkten hat man die Pr&uuml;fung nicht bestanden:
 
'''(3)'''&nbsp; Mit weniger als $46$ Punkten hat man die Pr&uuml;fung nicht bestanden:
$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
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:$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
 
Also m&uuml;ssen wohl <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
 
Also m&uuml;ssen wohl <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
  
  
'''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz $82 - 46 = 36$ muss auf neun Notenstufen (1.3, ... , 4.0) aufgeteilt werden. Jedes Intervall umfasst somit $4$ Punkte. Beispielsweise erh&auml;lt man die Note &bdquo;, wenn man $58$ bis $62$ Punkte erreicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt, ergibt sich zu
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'''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz $82 - 46 = 36$ muss auf neun Notenstufen (1.3, ... , 4.0) aufgeteilt werden.  
$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$
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*Jedes Intervall umfasst somit $4$ Punkte.  
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*Beispielsweise erh&auml;lt man die Note &bdquo;, wenn man $58$ bis $62$ Punkte erreicht.  
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*Die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt, ergibt sich zu
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:$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$
  
 
Unter Ausnutzung der Symmetrie erh&auml;lt man:
 
Unter Ausnutzung der Symmetrie erh&auml;lt man:
$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$
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:$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$
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''Anmerkungen:''
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*$z$ ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen. Deshalb ist die Punktzahl $62$ gleichzeitig die obere Grenze für den &bdquo;3.0&rdquo;&ndash;Bereich als auch die untere Grenze für die Note &bdquo;2.7&rdquo; ist.
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*Wäre $z$ nur ganzzahlig, so müsste $62$ je nach Stimmung des Korrektors  entweder der Note &bdquo;2.7&rdquo; oder der Note &bdquo;3.0&rdquo; zugeordnet werden.
  
$z$ ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen. Deshalb ist die Punktzahl $62$ gleichzeitig die obere Grenze für den &bdquo;3.0&rdquo;&ndash;Bereich als auch die untere Grenze für die Note &bdquo;2.7&rdquo; ist. Wäre $z$ nur ganzzahlig, so müsste $62$ je nach Stimmung des Korrektors  entweder der Note &bdquo;2.7&rdquo; oder der Note &bdquo;3.0&rdquo; zugeordnet werden.
 
  
'''(5)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe (4) gilt f&uuml;r die Note &bdquo;2.7&rdquo;:
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'''(5)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe '''(4)''' gilt f&uuml;r die Note &bdquo;2.7&rdquo;:
$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$
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:$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$
  
 
Aus Symmetriegr&uuml;nden erh&auml;lt man f&uuml;r die Note &bdquo;3.3&rdquo; den gleichen Wert:
 
Aus Symmetriegr&uuml;nden erh&auml;lt man f&uuml;r die Note &bdquo;3.3&rdquo; den gleichen Wert:
$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
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:$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
  
 
Also erhalten <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
 
Also erhalten <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
  
'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte-/Notenzuordnung sind nicht nur die Punkte um $m_z = 60$ symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um „3.0“. Es gibt  
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*genau so viele „2.7“ wie „3.3“ (um ±0.3 von 3.0 entfernt),  
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'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte&ndash;Noten&ndash;Zuordnung sind nicht nur die Punkte um $m_z = 60$ symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um „3.0“. Es gibt  
*genau so viele „2.3“ wie „3.7“ (3.0 ±0.7), und  
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*genau so viele „2.7“ wie „3.3“ (um $±0.3$ von $3.0$ entfernt),  
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*genau so viele „2.3“ wie „3.7“ ($3.0 ±0.7$), und  
 
*genau so viele „1.0“ wie „5.0“.  
 
*genau so viele „1.0“ wie „5.0“.  
  
  
Deshalb ergibt sich die <u>Mittelnote exakt zu 3.0</u>.
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Deshalb ergibt sich die $\rm Mittelnote \hspace{0.15cm}\underline{  3.0}$.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
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Version vom 10. August 2018, 09:11 Uhr

Gaußsche Fehlerintegrale
${\rm \phi}(x)$ und ${\rm Q}(x)$

An einer Prüfung an der TU München haben $1000$ Studentinnen und Studenten teilgenommen. Ab der Note „4.0” gilt die Prüfung als bestanden. Die Prüfungsordnung sieht folgende Noten vor:

$$1.0, \ 1.3, \ 1.7, \ 2.0, \ 2.3, \ 2.7, \ 3.0, \ 3.3, \ 3.7, \ 4.0, \ 4.3, \ 4.7, \ 5.0.$$

Weiter ist bei der Aufgabe zu berücksichtigen:

  • Die maximal erreichbare Punktzahl betrug $100$. Der beste Student erreichte $88$ Punkte.
  • Aufgrund der relativ großen Teilnehmerzahl ergibt sich für die erreichte Punktzahl – dies sei die Zufallsgröße $z$ – mit guter Näherung eine Gaußverteilung mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung (Standardabweichung) $\sigma_z = 10$.
  • Bei der Korrektur wurden nicht nur ganze Punktezahlen vergeben, sondern auch (beliebige) Zwischenwerte, so dass man die Zufallsgröße $z$ mit guter Näherung als „kontinuierlich” auffassen kann.


Für die Bewertung werden als Richtlinien vorgegeben:

  • Auch mit sechs Punkten weniger als der Beste (ab $82$ Punkten) soll man „1.0” bekommen.
  • Hat man $46\%$ der Gesamtpunktzahl erreicht, so hat man die Prüfung bestanden.
  • Die Punkte/Noten-Zuordnung soll linear erfolgen.




Hinweise:

  • Gerade im Schulbereich wird die „Gaußverteilung” oft als „Normalverteilung” bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt:
  • Eine normalverteilte Zufallsgröße $z$ hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF, jedoch mit Mittelwert $m_z = 0$ und Streuung $\sigma_z = 1$.


Fragebogen

1

Welche Kriterien sind bei der Aufgabenerstellung zu beachten, damit die Punktezahl „etwa eine Normalverteilung” ergeben wird?

Es gibt viele Prüfungsteilnehmer.
Die Teilaufgaben hängen in starkem Maße voneinander ab.
Es gibt viele unabhängige Aufgaben.
Die Prüfung besteht aus einer einzigen Frage mit Ja/Nein-Antwort.

2

Wieviele Teilnehmer werden voraussichtlich mit „1.0“ abschließen?

$N_\text{1.0} \ = \ $

3

Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung wohl nicht bestehen?
Berücksichtigen Sie, dass man $z$ als kontinuierliche Zufallsgröße auffassen kann.

$N_\text{4.3 ... 5.0} \ = \ $

4

Legen Sie die Punkte/Noten–Zuordnung fest. Ab wann bekommt man eine „3.0“?
Wieviele Prüfungsteilnehmer werden diese Note erhalten?

$N_\text{3.0} \ = \ $

5

Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“?
Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.

$N_\text{2.7} \ = \ $

6

Welche Mittelnote wird sich bei dieser Prüfung ergeben?
Berücksichtigen Sie zur Lösung dieser Teilaufgabe das Ergebnis von (5).

$\rm Mittelnote \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Nach dem zentralen Grenzwertsatz erhält man für die Summe vieler unabhängiger Größen eine Gaußverteilung.
  • Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abhängigen Aufgaben keine Gaußverteilung.
  • Eine einzige Ja/Nein-Frage führt zu einer Zweipunktverteilung (0 Punkte oder Maximalpunktzahl).
  • Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer „Normalverteilung” rechnen können.


(2)  Man bekommt eine „1.0” mit $82$ Punkten oder mehr. Deshalb gilt mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung $\sigma_z = 10$:

$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2) \hspace{0.15cm}{=\rm 0.0139}.$$

Bei tausend Teilnehmern folgt daraus $N_\text{1.0}\hspace{0.15cm}\underline{= 14}$.


(3)  Mit weniger als $46$ Punkten hat man die Prüfung nicht bestanden:

$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$

Also müssen wohl 81 Studenten nochmals antreten.


(4)  Die Punktedifferenz $82 - 46 = 36$ muss auf neun Notenstufen (1.3, ... , 4.0) aufgeteilt werden.

  • Jedes Intervall umfasst somit $4$ Punkte.
  • Beispielsweise erhält man die Note „, wenn man $58$ bis $62$ Punkte erreicht.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt, ergibt sich zu
$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$

Unter Ausnutzung der Symmetrie erhält man:

$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$

Anmerkungen:

  • $z$ ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen. Deshalb ist die Punktzahl $62$ gleichzeitig die obere Grenze für den „3.0”–Bereich als auch die untere Grenze für die Note „2.7” ist.
  • Wäre $z$ nur ganzzahlig, so müsste $62$ je nach Stimmung des Korrektors entweder der Note „2.7” oder der Note „3.0” zugeordnet werden.


(5)  Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (4) gilt für die Note „2.7”:

$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$

Aus Symmetriegründen erhält man für die Note „3.3” den gleichen Wert:

$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$

Also erhalten je 146 Teilnehmer die Note „2.7” bzw. „3.3”.


(6)  Mit der hier getroffenen Punkte–Noten–Zuordnung sind nicht nur die Punkte um $m_z = 60$ symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um „3.0“. Es gibt

  • genau so viele „2.7“ wie „3.3“ (um $±0.3$ von $3.0$ entfernt),
  • genau so viele „2.3“ wie „3.7“ ($3.0 ±0.7$), und
  • genau so viele „1.0“ wie „5.0“.


Deshalb ergibt sich die $\rm Mittelnote \hspace{0.15cm}\underline{ 3.0}$.