Aufgaben:Aufgabe 4.4Z: Höhenlinien der 2D-WDF: Unterschied zwischen den Versionen
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:$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} | :$$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} | ||
\rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$ | \rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$ | ||
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:$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}} | :$$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}} | ||
=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$ | =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$ | ||
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'''(3)''' Die allgemeine Gleichung lautet: | '''(3)''' Die allgemeine Gleichung lautet: | ||
− | :$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}).$$ | + | :$$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$ |
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+ | *Gilt $\sigma_x = \sigma_y$ und $\rho_{xy} \ne 0$, so ist der Winkel immer $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von $\rho_{xy}$ ist. | ||
+ | *Im vorliegenden Fall gilt $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$. | ||
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'''(4)''' Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt: | '''(4)''' Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt: | ||
:$$f_{xy}(x, y)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(\it x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.2$$ | :$$f_{xy}(x, y)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(\it x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.2$$ | ||
− | :$$\Rightarrow {\rm e}^{-( x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885 | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-( x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885 |
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$ | \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$ | ||
− | Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha | + | Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha = -45^\circ$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter: |
:$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$ | :$$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$ | ||
− | :$$\Rightarrow (\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118} | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118} |
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$ | \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$ | ||
− | Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$. Der Quotient ist in beiden Fällen $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$. | + | *Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$. |
+ | *Der Quotient ist in beiden Fällen $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$. | ||
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'''(5)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | '''(5)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | ||
− | *Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) gilt für den Winkel der Korrelationsgeraden: | + | *Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' gilt für den Winkel der Korrelationsgeraden: |
− | :$$\theta_{y\rightarrow x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$ | + | :$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$ |
− | + | *Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig. | |
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+ | Nachfolgend der <u>Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage</u>: | ||
+ | *Löst man die Ellipsengleichung (mit $z = 0.118$), also $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0 ,$ nach $y$ auf, so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung | ||
:$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}} | :$$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}} | ||
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$ | \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$ | ||
− | *Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall, dass die beiden Lösungen $y_{\rm 1, \ 2}$ identisch sind. Das heißt: | + | *Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall, dass die beiden Lösungen $y_{\rm 1, \ 2}$ identisch sind. Das heißt: Der Wurzelausdruck muss den Wert $0$ ergeben. |
+ | *Die Lösung für positives $x$ lautet dann: $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$ | ||
*Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den $y$-Wert des Tangentialpunktes: | *Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den $y$-Wert des Tangentialpunktes: | ||
:$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0 | :$$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0 | ||
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$ | \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$ | ||
− | :$$\Rightarrow y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} + z = 0 | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} + z = 0 |
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$ | \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$ | ||
− | *Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch: Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$ | + | *Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch: Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$ |
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Version vom 16. August 2018, 09:23 Uhr
Gegeben ist eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße $(x, y)$ mit Mittelwert $(0, 0)$ und der 2D–WDF
- $$f_{xy}(x, y) = C\cdot{\rm e}^{-(x^{\rm 2} + y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y)}.$$
Bekannt ist weiter, dass die beiden Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ jeweils gleich $1$ sind. In der Skizze eingetragen sind:
- Eine Höhenlinie dieser WDF für $f_{xy}(x,y) =0.2$,
- die Ellipsenhauptachse $\rm (EA)$, und
- die Korrelationsgerade $y=K(x)$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
- Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo Gaußsche 2D-Zufallsgrößen:
- Teil 1: Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
- Teil 2: Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Auch ohne die Angabe $\sigma_x = \sigma_y = 1$ könnte man erkennen, dass die Streuungen $\sigma_x$ und $\sigma_y$ gleich sind, da im Exponenten von $f_{xy}(x, y)$ die Koeffizienten bei $x^2$ und $y^2$ gleich sind. Durch Koeffizientenvergleich erhält man somit:
- $$\frac{- 2 \rho_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = \sqrt{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \rho_{xy}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.707}.$$
(2) Mit den unter Punkt (1) berechneten Zahlenwerten erhalten wir zudem:
- $$C=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi\cdot\sigma_x\cdot\sigma_y\cdot\sqrt{\rm 1 - \rho_{xy}^{\rm 2}}} =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi\cdot\rm 1\cdot 1\cdot\sqrt{0.5}}=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.225}.$$
(3) Die allgemeine Gleichung lautet:
- $$\alpha = {\rm 1}/{\rm 2}\cdot \rm arctan(\rm 2 \cdot\it \rho_{xy}\cdot \frac{\sigma_x\cdot\sigma_y}{\sigma_x^{\rm 2} - \sigma_y^{\rm 2}}{\rm )}.$$
- Gilt $\sigma_x = \sigma_y$ und $\rho_{xy} \ne 0$, so ist der Winkel immer $\alpha = \pm 45^\circ$, wobei das Vorzeichen gleich dem Vorzeichen von $\rho_{xy}$ ist.
- Im vorliegenden Fall gilt $\alpha\hspace{0.15cm}\underline{ = -45^\circ}$.
(4) Für die eingezeichnete Höhenlinie gilt:
- $$f_{xy}(x, y)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2}\cdot \pi}\cdot {\rm e}^{(\it x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y)}=\rm 0.2$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{-( x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y)} = 0.8885 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x^{\rm 2} + y^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot\hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}y = -{\rm ln(0.8885)} \approx\rm 0.118.$$
Der Winkel der Ellipsenhauptachse ist $\alpha = -45^\circ$. Deshalb muss $y_0 = - x_0$ gelten. Daraus folgt weiter:
- $$x_{\rm 0}^{\rm 2} + (-x_{\rm 0})^{\rm 2} + \sqrt{\rm 2}\cdot x_{\rm 0}(-x_{\rm 0}) = 0.118$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\rm 2 - \sqrt{\rm 2})\cdot \it x_{\rm 0}^{\rm 2} = {\rm 0.118} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_{\rm 0}^{\rm 2} \approx \frac{\rm0.118}{\rm0.585}\approx\rm 0.202; \hspace{0.5cm} {\it x}_{\rm 0}\approx\pm\rm 0.450.$$
- Die beiden Schnittpunkte der eingezeichneten Höhenlinien mit der Ellipsenhauptachse liegen somit bei $(+0.45, -0.45)$ und $(-0.45, +0.45)$.
- Der Quotient ist in beiden Fällen $x_0/y_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = -1}$.
(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Mit $\sigma_x = \sigma_y$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) gilt für den Winkel der Korrelationsgeraden:
- $$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x} = \arctan (\rho_{\it xy})=\arctan(-{\rm 1}/{\sqrt{\rm 2}})\approx -\rm 35.3^{\circ}.$$
- Das bedeutet: Die erste Aussage ist falsch und die zweite richtig.
Nachfolgend der Beweis für die Richtigkeit der letzten Aussage:
- Löst man die Ellipsengleichung (mit $z = 0.118$), also $x^{\rm 2}+ y^{\rm 2} +\sqrt{\rm 2}\cdot \it x\cdot \it y - \it z = \rm 0 ,$ nach $y$ auf, so erhält man nach Lösung einer quadratischen Gleichung
- $$y_{\rm 1, \ 2}={\sqrt{\rm 2}}/ {\rm 2} \cdot x\pm\sqrt{{x^{\rm 2}}/{\rm 2}-x^{\rm 2}+{\it z}} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm 1, \ 2}={\it x}/{\sqrt{\rm 2}}\pm \sqrt{z-{x^{\rm 2}}/{\rm 2}}.$$
- Die vertikale Tangente ergibt sich für den Fall, dass die beiden Lösungen $y_{\rm 1, \ 2}$ identisch sind. Das heißt: Der Wurzelausdruck muss den Wert $0$ ergeben.
- Die Lösung für positives $x$ lautet dann: $x_{\rm T}=\sqrt{\rm 2\cdot \it z}=\rm \rm 0.485.$
- Eingesetzt in die Ellipsengleichung erhält man für den $y$-Wert des Tangentialpunktes:
- $$x_{\rm T}^{\rm 2} + y_{\rm T}^{\rm 2} + \sqrt{2} \cdot x_{\rm T} \cdot y_{\rm T} - z = 0 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 z + y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} - z = 0$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm T}^{\rm 2} + 2\sqrt{ z}\cdot y_{\rm T} + z = 0 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} (y_{\rm T} + \sqrt{ z}) = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_{\rm T} = -\sqrt{ z} = -0.343.$$
- Daraus ergibt sich $y_{\rm T}=-{x_{\rm T}}/{\sqrt{\rm 2}}.$ Das bedeutet aber auch: Der Tangentialpunkt $(x_{\rm T}, y_{\rm T})$ liegt exakt auf der Korrelationsgeraden $y=K(x)=-{ x}/{\sqrt{\rm 2}}.$