Aufgaben:Aufgabe 1.2: Lognormal – Kanalmodell: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation. Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar: | + | Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation. |
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+ | Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar: | ||
:$$V_{\rm P} = V_{\rm 0} + V_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$V_{\rm P} = V_{\rm 0} + V_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | $V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird. Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (<i>Shadowing</i>) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion | + | $V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird. Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (<i>Shadowing</i>) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion |
:$$f_{V{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}- m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}$$ | :$$f_{V{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}- m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}$$ | ||
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Gehen Sie außerdem von folgenden einfachen Annahmen aus: | Gehen Sie außerdem von folgenden einfachen Annahmen aus: | ||
− | * Die Sendeleistung beträgt $P_{\rm S} = 10 \ \rm W$ (oder $40 \ \rm dBm$). | + | * Die Sendeleistung beträgt $P_{\rm S} = 10 \ \rm W$ (oder $40 \ \rm dBm$). |
− | * Die Empfangsleistung soll mindestens $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$ (umgerechnet: $–80 \ \rm dBm$) betragen. | + | * Die Empfangsleistung soll mindestens $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$ (umgerechnet: $–80 \ \rm dBm$) betragen. |
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− | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]]. |
* Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende (grobe) Näherungen verwenden: | * Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende (grobe) Näherungen verwenden: | ||
:$${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} | :$${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} | ||
{\rm Q}(3) \approx 10^{-3}\hspace{0.05cm}.$$ | {\rm Q}(3) \approx 10^{-3}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | * Oder Sie benutzen das von LNTwww bereitgestellte Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]. | + | * Oder Sie benutzen das von $\rm LNTwww$ bereitgestellte Interaktionsmodul [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]. |
Version vom 28. März 2019, 11:00 Uhr
Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand $d_0$ von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.
Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:
- $$V_{\rm P} = V_{\rm 0} + V_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
$V_0$ berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit $V_0 = 80 \ \rm dB$ als konstant angenommen wird. Der Verlust $V_{\rm S}$ ist auf Abschattungen (Shadowing) zurückzuführen, der durch die Lognormal–Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
- $$f_{V{\rm S}}(V_{\rm S}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}- m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}$$
ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik). Es gelten folgende Zahlenwerte:
- $$m_{\rm S} = 20\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \sigma_{\rm S} = 10\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm bzw.}\hspace{0.15cm}\sigma_{\rm S} = 0\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm (Teilaufgabe\hspace{0.15cm} b)}\hspace{0.05cm}.$$
Gehen Sie außerdem von folgenden einfachen Annahmen aus:
- Die Sendeleistung beträgt $P_{\rm S} = 10 \ \rm W$ (oder $40 \ \rm dBm$).
- Die Empfangsleistung soll mindestens $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$ (umgerechnet: $–80 \ \rm dBm$) betragen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung.
- Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende (grobe) Näherungen verwenden:
- $${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(3) \approx 10^{-3}\hspace{0.05cm}.$$
- Oder Sie benutzen das von $\rm LNTwww$ bereitgestellte Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
Fragebogen
Musterlösung
Man kann dieses Problem auch direkt mit den logarithmischen Größen lösen:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{P_{\rm E}}{1\,\,{\rm mW}} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{P_{\rm S}}{1\,\,{\rm mW}} - V_0 = 40\,{\rm dBm} -80\,\,{\rm dB} = -40\,\,{\rm dBm} \hspace{0.05cm}.$$
Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $–80 \ \rm dBm$.
(2) Lognormal–Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangslestung $P_{\rm E}$. Gegenüber Teilaufgabe (1) ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner ⇒ $P_{\rm E} = \ –60 \ \rm dBm$. Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($–80 \ \rm dBm$). Daraus folgt: Das System ist zu 100% funktionsfähig.
(3) Die Empfangsleistung ist dann zu gering (kleiner als $–80 \ \rm dBm$), wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal–Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt. Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$. Daraus folgt:
- $${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}\left ( \frac{20\,\,{\rm dB}}{\sigma_{\rm S} = 10\,{\rm dB}}\right ) = {\rm Q}(2) \approx 0.02$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert"})= 1- 0.02 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 98\,\%}\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik verdeutlicht das Ergebnis. Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch Shadowing (Longnormal–Fading). Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:
(4) Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9 \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm –3} \approx \ {\rm Q}(3)$. Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} ≥ 50 \ \rm dB$ ist. Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:
- $${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}\left ( \frac{120-70-20}{10}\right ) = {\rm Q}(3) \approx 0.001 \hspace{0.05cm}.$$