Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: (3, 1, 3)–Faltungscodierer: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
K (Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “) |
|||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}} | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}} | ||
| − | [[Datei:P_ID2625__KC_Z_3_2_neu.png|right|frame|Faltungscodierer mit $k = 1, \ n = 3$ und $m = 3$]] | + | [[Datei:P_ID2625__KC_Z_3_2_neu.png|right|frame|Faltungscodierer mit den Parametern $k = 1, \ n = 3$ und $m = 3$]] |
| − | Der dargestellte Faltungscodierer wird durch die Parameter $k = 1$ (nur eine Informationssequenz $\underline{u}$ | + | Der dargestellte Faltungscodierer wird durch die Parameter |
| + | *$k = 1$ $($nur eine Informationssequenz $\underline{u})$ sowie | ||
| + | * $n = 3$ $($drei Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ \underline{x}^{(3)})$ | ||
| − | Mit dem Informationsbit $u_i$ zum Codierschritt $i$ erhält man die folgenden Codebits: | + | |
| + | charakterisiert. Aus der Anzahl der Speicherzellen ergibt sich das Gedächtnis $m = 3$. | ||
| + | |||
| + | Mit dem Informationsbit $u_i$ zum Codierschritt $i$ erhält man die folgenden Codebits: | ||
:$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-3}\hspace{0.05cm},$$ | :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-3}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-2} + u_{i-3} \hspace{0.05cm},$$ | :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-2} + u_{i-3} \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Daraus lassen sich Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ ableiten, wie auf der Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen|Aufteilung der Generatormatrix inTeilmatrizen]] beschrieben. Für die Generatormatrix kann somit geschrieben werden: | + | Daraus lassen sich Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ ableiten, wie auf der Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen|Aufteilung der Generatormatrix inTeilmatrizen]] beschrieben. |
| + | |||
| + | *Für die Generatormatrix kann somit geschrieben werden: | ||
:$$ { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} | :$$ { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} | ||
{ \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ | { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ | ||
| Zeile 16: | Zeile 23: | ||
& & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ | & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ | ||
& & & \ddots & \ddots & & & \ddots | & & & \ddots & \ddots & & & \ddots | ||
| − | \end{pmatrix}\hspace{0.05cm} | + | \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | + | *Für die Codesequenz $\underline{x} = (x_1^{(1)}, \ x_1^{(2)}, \ x_1^{(3)}, \ x_2^{(1)}, \ x_2^{(2)}, \ x_2^{(3)}, \ \text{...})$ gilt: | |
:$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| Zeile 25: | Zeile 35: | ||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]]. |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen|Aufteilung der Generatormatrix | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen|Aufteilung der Generatormatrix in Teilmatrizen]]. |
| Zeile 33: | Zeile 43: | ||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Aus wievielen Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ setzt sich die Matrix $\mathbf{G}$ zusammen? | + | {Aus wievielen Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ setzt sich die Matrix $\mathbf{G}$ zusammen? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 4 } | ${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 4 } | ||
| − | {Welche Dimension besitzen die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$? | + | {Welche Dimension besitzen die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Zeilenzahl \ der \ Teilmatrizen} \hspace{0.425cm} = \ ${ 1 } | ${\rm Zeilenzahl \ der \ Teilmatrizen} \hspace{0.425cm} = \ ${ 1 } | ||
| Zeile 44: | Zeile 54: | ||
{Welche Aussagen sind richtig? | {Welche Aussagen sind richtig? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + Es gilt $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$. | + | + Es gilt $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$. |
| − | + Es gilt $\mathbf{G}_ 1 = (1, 1, 0)$. | + | + Es gilt $\mathbf{G}_ 1 = (1, 1, 0)$. |
| − | + Es gilt $\mathbf{G}_2 = (0, 1, 1)$. | + | + Es gilt $\mathbf{G}_2 = (0, 1, 1)$. |
| − | + Es gilt $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$. | + | + Es gilt $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$. |
| − | {Erstellen Sie die Generatormatrix $\mathbf{G}$ mit | + | {Erstellen Sie die Generatormatrix $\mathbf{G}$ mit fünf Zeilen und fünfzehn Spalten. <br>Welche Codesequenz ergibt sich für $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0)$? |
|type="()"} | |type="()"} | ||
| − | - Es gilt $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \ \text{...}).$ | + | - Es gilt $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \ \text{...}).$ |
| − | + Es gilt $\underline{x} = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, \text{...}).$ | + | + Es gilt $\underline{x} = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, \text{...}).$ |
| − | - Es gilt $\underline{x} = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, \text{...}).$ | + | - Es gilt $\underline{x} = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, \text{...}).$ |
</quiz> | </quiz> | ||
Version vom 4. Juni 2019, 16:23 Uhr
Faltungscodierer mit den Parametern $k = 1, \ n = 3$ und $m = 3$
Der dargestellte Faltungscodierer wird durch die Parameter
- $k = 1$ $($nur eine Informationssequenz $\underline{u})$ sowie
- $n = 3$ $($drei Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ \underline{x}^{(3)})$
charakterisiert. Aus der Anzahl der Speicherzellen ergibt sich das Gedächtnis $m = 3$.
Mit dem Informationsbit $u_i$ zum Codierschritt $i$ erhält man die folgenden Codebits:
- $$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-3}\hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-2} + u_{i-3} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$
Daraus lassen sich Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ ableiten, wie auf der Seite Aufteilung der Generatormatrix inTeilmatrizen beschrieben.
- Für die Generatormatrix kann somit geschrieben werden:
- $$ { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
- Für die Codesequenz $\underline{x} = (x_1^{(1)}, \ x_1^{(2)}, \ x_1^{(3)}, \ x_2^{(1)}, \ x_2^{(2)}, \ x_2^{(3)}, \ \text{...})$ gilt:
- $$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Algebraische und polynomische Beschreibung.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Aufteilung der Generatormatrix in Teilmatrizen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Für den Index $l$ der Teilmatrizen gilt $0 ≤ l ≤ m$. Der betrachtete Coder hat das Gedächtnis $m = 3$. Damit sind vier Teilmatrizen zu berücksichtigen.
(2) Jede Teilmatrix $\mathbf{G}_l$ besteht aus einer Zeile ⇒ $k = 1$ und drei Spalten ⇒ $n = 3$.
(3) Alle Aussagen sind richtig:
- Da das aktuelle Informationsbit $u_i$ alle drei Ausgänge $x_i^{(1)}, \ x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$ beeinflusst, ist $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$.
- Dagegen sagt $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$ aus, dass nur die beiden ersten Eingänge von $u_{i-3}$ beeinflusst werden, nicht aber $x_i^{(3)}$.
(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Die gesuchte Generatormatrix $\mathbf{G}$ ist nachfolgend dargestellt, wobei die vier Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \ ... , \mathbf{G}_3$ farblich unterschieden sind.
- Die folgende Vektorgleichung liefert das Ergebnis entsprechend dem zweiten Lösungsvorschlag 2:
- $$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1) \cdot { \boldsymbol{\rm G}}. $$
- Die Codesequenz $\underline{x}$ ist dabei gleich der Modulo–2–Summe der Matrixzeilen 1, 3 und 4.
Generatormatrix $\mathbf{G}$
Farblich unterschieden sind die drei Codesequenzen der einzelnen Zweige. Beispielsweise gilt für den unteren Ausgang:
- $$\underline{x}^{(3)} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
Anhand der vorne angegebenen Gleichungen kann dieses Resultat verifiziert werden:
- $${x}_1^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 + u_{-1} = 1+ (0) = 1 \hspace{0.05cm},$$
- $${x}_2^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_2 + u_{0} = 0+ (0) = 0 \hspace{0.05cm},$$
- $${x}_3^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_3 + u_{1} = 1+1 = 0 \hspace{0.05cm},$$
- $${x}_4^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_4 + u_{2} = 1+0 = 1 \hspace{0.05cm},$$
- $${x}_5^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_5 + u_{3} = 0+ 1 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
Berücksichtigt ist hierbei die Speichervorbelegung mit Nullen: $u_0 = u_{–1} = 0$.
Anmerkung: Ist wie hier angenommen die Informationssequenz auf vier Bit begrenzt, so können in der Codesequenz Einsen bis zur Position $(4 + m) \cdot n = 21$ vorkommen.
