Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Äquivalente Faltungscodes?: Unterschied zwischen den Versionen

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Die obere Darstellung zeigt einen Faltungscodierer, der durch folgende Gleichungen beschrieben wird:
 
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Gesucht sind die Übertragungsfunktionsmatrizen
 
Gesucht sind die Übertragungsfunktionsmatrizen
* $\mathbf{G}(D)$ dieses nichtsystematischen Codes, und  
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* $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ des äquivalenten systematischen Codes.
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Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ erhält man in folgender Weise:
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Die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$&nbsp; erhält man in folgender Weise:
* Man spaltet von der $k &times; n$&ndash;Matrix $\mathbf{G}(D)$ vorne eine quadratische Matrix $\mathbf{T}(D)$ mit jeweils $k$ Zeilen und Spalten ab. Den Rest bezeichnet man mit $\mathbf{Q}(D)$.
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* Man spaltet von der&nbsp; $k &times; n$&ndash;Matrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; vorne eine quadratische Matrix&nbsp; $\mathbf{T}(D)$&nbsp; mit jeweils&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und Spalten ab. Den Rest bezeichnet man mit&nbsp; $\mathbf{Q}(D)$.
* Anschließend berechnet man die zu $\mathbf{T}(D)$ inverse Matrix $\mathbf{T}^{&ndash;1}(D)$ und daraus die gesuchte Matrix für den äquivalenten systematischen Code:
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* Anschließend berechnet man die zu&nbsp; $\mathbf{T}(D)$&nbsp; inverse Matrix&nbsp; $\mathbf{T}^{-1}(D)$&nbsp; und daraus die gesuchte Matrix für den äquivalenten systematischen Code:
 
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:$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{0.05cm}.$$
* Da $\mathbf{T}^{&ndash;1}(D) \cdot \mathbf{T}(D)$ die $k &times; k$&ndash;Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$ ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden:
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* Da&nbsp; $\mathbf{T}^{&ndash;1}(D) \cdot \mathbf{T}(D)$&nbsp; die&nbsp; $k &times; k$&ndash;Einheitsmatrix&nbsp; $\mathbf{I}_k$&nbsp; ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden:
 
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\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}.
 
\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}.
 
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Die untere Schaltung erzeugt mit Sicherheit einen systematischen Code mit gleichen Parametern $k$ und $n$.  
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* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.9Cbertragungsfunktionsmatrix_.E2.80.93_Transfer_Function_Matrix|Übertragungsfunktionsmatrix &ndash; Transfer Function Matrix]] sowie <br>[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.84quivalenter_systematischer_Faltungscode|Äquivalenter systematischer Faltungscode]].
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+ Die zweite Zeile von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ lautet $(0, \, 1, \, 1/(1 + D))$.
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{Sind die beiden vorgegebenen Schaltungen tatsächlich äquivalent?
 
{Sind die beiden vorgegebenen Schaltungen tatsächlich äquivalent?

Version vom 6. Juni 2019, 17:01 Uhr

Nichtsystematischer und
systematischer Faltungscodierer

Die obere Darstellung zeigt einen Faltungscodierer, der durch folgende Gleichungen beschrieben wird:

$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$
$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},$$
$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)}\hspace{0.05cm}.$$

Gesucht sind die Übertragungsfunktionsmatrizen

  • $\mathbf{G}(D)$  dieses nichtsystematischen Codes, und
  • $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$  des äquivalenten systematischen Codes.


Die Matrix  $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$  erhält man in folgender Weise:

  • Man spaltet von der  $k × n$–Matrix  $\mathbf{G}(D)$  vorne eine quadratische Matrix  $\mathbf{T}(D)$  mit jeweils  $k$  Zeilen und Spalten ab. Den Rest bezeichnet man mit  $\mathbf{Q}(D)$.
  • Anschließend berechnet man die zu  $\mathbf{T}(D)$  inverse Matrix  $\mathbf{T}^{-1}(D)$  und daraus die gesuchte Matrix für den äquivalenten systematischen Code:
$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{0.05cm}.$$
  • Da  $\mathbf{T}^{–1}(D) \cdot \mathbf{T}(D)$  die  $k × k$–Einheitsmatrix  $\mathbf{I}_k$  ergibt, kann die Übertragungsfunktionsmatrix des äquivalenten systematischen Codes in der gewünschten Form geschrieben werden:
$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big [ \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{0.05cm}\big ] \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\boldsymbol{\rm P}}(D)= {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \hspace{0.05cm}. \hspace{0.05cm}$$

Die untere Schaltung erzeugt mit Sicherheit einen systematischen Code mit gleichen Parametern  $k$  und  $n$.

In der Teilaufgabe (5) ist zu klären, ob es sich dabei tatsächlich um den  äquivalenten systematischen Code  handelt. Das heißt, ob sich tatsächlich für die beiden Schaltungen genau die gleiche Menge  $\{ \hspace{0.1cm} \underline{x} \hspace{0.1cm}\}$  an Codesequenzen ergibt, wenn man alle möglichen Informationssequenzen  $\{ \hspace{0.1cm} \underline{u} \hspace{0.1cm} \}$  berücksichtigt.




Hinweise:

Übertragungsfunktionsmatrix – Transfer Function Matrix  sowie
Äquivalenter systematischer Faltungscode.



Fragebogen

1

Wie lauten die Parameter des oben dargestellten Codierers?

$k \hspace{0.25cm} = \ $

$n \hspace{0.22cm} = \ $

$m \hspace{0.10cm} = \ $

$ν \hspace{0.28cm} = \ $

$R \hspace{0.18cm} = \ $

2

Welche Form hat die Übertragungsfunktionsmatrix  $\mathbf{G}(D)$?

Die erste Zeile von  $\mathbf{G}(D)$  lautet  $(1 + D, \, 0, \, 0)$.
Die erste Zeile von  $\mathbf{G}(D)$  lautet  $(1 + D^2, \, 0, \, D^2)$.
Die zweite Zeile von  $\mathbf{G}(D)$  lautet  $(D, \, 1 + D, \, 1)$.
Die dritte Zeile von  $\mathbf{G}(D)$  lautet  $(D, \, 1 + D, \, 1)$.

3

Geben Sie  $\mathbf{T}(D)$  und  $\mathbf{T}^{-1}(D)$  an. Wie lautet die Determinante?

$\det {\mathbf{T}(D)} = 1$,
$\det {\mathbf{T}(D)} = D$,
$\det {\mathbf{T}(D)} = 1 + D^2$.

4

Was gilt für die äquivalente systematische Übertragungsfunktionsmatrix?

Die erste Zeile von  $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$  lautet  $(1, \, 0, \, 0)$.
Die zweite Zeile von  $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$  lautet  $(0, \, 1, \, 1 + D)$.
Die zweite Zeile von  $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$  lautet  $(0, \, 1, \, 1/(1 + D))$.

5

Sind die beiden vorgegebenen Schaltungen tatsächlich äquivalent?

JA.
NEIN.


Musterlösung

(1)  Hier gilt $\underline{k = 2}$ und $\underline{n = 3}$  ⇒  Rate $\underline{R = 2/3}$. Die Gedächtnisordnung $\underline{m = 1}$ (Anzahl der Speicherelemente pro Eingang). Die Einflusslänge ist gleich der Summe aller Speicherelemente ⇒ $\underline{\nu = 2}$.


(2)  Das Informationsbit $u_i^{(1)}$ beeinflusst nur den ersten Ausgang $x_i^{(1)}$, während $u_i^{(2)}$ für $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$ herangezogen wird. Damit erhält man für die nullte Teilmatrix:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}. $$

Die verzögerten Eingänge wirken sich wie folgt aus:

  • $u_{i–1}^{(1)}$ beeinflusst $x_i^{(1)}$,
  • $u_{i–1}^{(2)}$ beeinflusst $x_i^{(1)}$ und $x_i^{(2)}$:


Somit lauten die Teilmatrix $\mathbf{G}_1$ und die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}}(D) = { \boldsymbol{\rm G}}_0 + { \boldsymbol{\rm G}}_1 \cdot D = \begin{pmatrix} 1+D & 0 & 0\\ D & 1+D & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}. $$

Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 3. Die Antwort 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen, da bei $m = 1$ in der Übertragungsfunktionsmatrix kein Element mit $D^2$ auftreten kann. $\mathbf{G}(D)$ ist zudem eine $2 × 3$–Matrix; eine dritte Zeile gibt es nicht.


(3)  Die Aufspaltung von $\mathbf{G}(D)$ ergibt die $2 × 2$–Matrix

$${ \boldsymbol{\rm T}}(D) = \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm det}\hspace{0.1cm}{ \boldsymbol{\rm T}}(D) = (1+D) \cdot (1+D) = 1+D^2 $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}. $$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 3. Zur Kontrolle:

$${ \boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot { \boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} =$$
$$ \ = \ \hspace{-0.15cm} ... \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1+D^2 & 0 \\ 0 & 1+D^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$


(4)  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:

$${ \boldsymbol{\rm P}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} { \boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot { \boldsymbol{\rm Q}}(D) = \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 1+D & 0 \\ D & 1+D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =$$
$$\ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} (1+D)\cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ D\cdot 0 + (1+D)\cdot 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1+D^2} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1+D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1/(1+D) \end{pmatrix} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1/(1+D) \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$

Richtig ist demnach die Lösungsvorschläge 1 und 3.


(5)  Richtig ist JA. Die untere Schaltung auf dem Angabenblatt ist gekennzeichnet durch die Gleichungen $x_i^{(1)} = u_i^{(1)}$ und $x_i^{(2)} = u_i^{(2)}$ sowie

$$x_i^{(3)}= x_{i-1}^{(3)} + u_i^{(2)} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} X^{(3)}(D)= X^{(3)}(D) \cdot D +U^{(2)}(D)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(D) = \frac {X^{(3)}(D)}{U^{(2)}(D)} = \frac {1}{1+D} \hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht genau dem letzten Element von $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ entsprechend der Teilaufgabe (4).