Aufgaben:Aufgabe 3.10Z: ML–Decodierung von Faltungscodes: Unterschied zwischen den Versionen
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+ Es gilt $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})/4$. | + Es gilt $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})/4$. | ||
| − | {Welche der Gleichungen beschreiben die ML–Decodierung beim BSC–Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle $\underline{x} | + | {Welche der Gleichungen beschreiben die ML–Decodierung beim BSC–Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle $\underline{x} ∈\mathcal{ C}$. |
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+ $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})}$, | + $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})}$, | ||
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*Die zwei Binärfolgen seien $\underline{x}$ und $\underline{y}$ mit $x_i ∈ \{-1, \, +1\}, \ y_i ∈ \{-1, \, +1\}$. Die Folgenlänge sei jeweils $L$. | *Die zwei Binärfolgen seien $\underline{x}$ und $\underline{y}$ mit $x_i ∈ \{-1, \, +1\}, \ y_i ∈ \{-1, \, +1\}$. Die Folgenlänge sei jeweils $L$. | ||
*Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ gibt die Anzahl der Bit an, in denen sich $\underline{x}$ und $\underline{y}$ unterscheiden, für die also $x_i \, - y_i = ±2$ ⇒ $ (x_i \, - y_i)^2 = 4$ gilt. | *Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ gibt die Anzahl der Bit an, in denen sich $\underline{x}$ und $\underline{y}$ unterscheiden, für die also $x_i \, - y_i = ±2$ ⇒ $ (x_i \, - y_i)^2 = 4$ gilt. | ||
| − | *Gleiche Symbole $(x_i = y_i)$ tragen zur Hamming–Distanz nicht bei und ergeben $(x_i \, – y_i)^2 = 0$. | + | *Gleiche Symbole $(x_i = y_i)$ tragen zur Hamming–Distanz nicht bei und ergeben $(x_i \, – y_i)^2 = 0$. Nach dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> kann daher geschrieben werden: |
:$$ d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = | :$$ d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = | ||
\frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2= \frac{1}{4} \cdot d_{\rm E}^2(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$ | \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2= \frac{1}{4} \cdot d_{\rm E}^2(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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:$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} | :$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} | ||
d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$ | d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Entsprechend der Teilaufgabe (1) gilt aber auch: | + | *Entsprechend der Teilaufgabe '''(1)''' gilt aber auch: |
:$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} | :$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} | ||
d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})/4 | d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})/4 | ||
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| − | *Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) ≥ 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ | + | *Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) ≥ 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ erfolgt. |
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*Für den letzten Ausdruck in dieser Gleichung kann $–2 \cdot 〈 \underline{x}, \, \underline{y} 〉$ geschrieben werden. | *Für den letzten Ausdruck in dieser Gleichung kann $–2 \cdot 〈 \underline{x}, \, \underline{y} 〉$ geschrieben werden. | ||
*Aufgrund des negativen Vorzeichens wird aus der Minimierung eine Maximierung ⇒ <u>Antwort 2</u>. | *Aufgrund des negativen Vorzeichens wird aus der Minimierung eine Maximierung ⇒ <u>Antwort 2</u>. | ||
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Aktuelle Version vom 26. Juni 2019, 08:56 Uhr
Gesamtsystemmodell
Coder – Kanal – Viterbi
Coder – Kanal – Viterbi
Der Viterbi–Algorithmus stellt die bekannteste Realisierungsform für die Maximum–Likelihood–Decodierung eines Faltungscodes dar. Wir gehen hier von folgendem Modell aus:
- Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird durch einen Faltungscode in die Codesequenz $\underline{x}$ umgesetzt. Es gelte $u_i ∈ \{0, \, 1\}$. Dagegen werden die Codesymbole bipolar dargestellt ⇒ $x_i ∈ \{–1, \, +1\}$.
- Der Kanal sei durch das BSC–Modell gegeben ⇒ $y_i ∈ \{–1, \, +1\}$ oder es wird der AWGN–Kanal vorausgesetzt ⇒ reellwertige Empfangswerte $y_i$.
- Bei gegebener Empfangssequenz $\underline{y}$ entscheidet sich der Viterbi–Algorithmus für die Codesequenz $\underline{z}$ gemäß
- $$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.$$
- Dies entspricht dem Maximum–a–posteriori (MAP)–Kriterium. Sind alle Informationssequenzen $\underline{u}$ gleichwahrscheinlich, so geht dieses in das etwas einfachere Maximum–Likelihood–Kriterium über:
- $$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.$$
- Als weiteres Ergebnis gibt der Viterbi–Algorithmus zusätzlich die Sequenz $\underline{v}$ als Schätzung für die Informationssequenz $\underline{u}$ aus.
In dieser Aufgabe soll der Zusammenhang zwischen der Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ sowie der Euklidischen Distanz
- $$d_{\rm E}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2}\hspace{0.05cm}$$
ermittelt werden. Anschließend ist das obige ML–Kriterium zu formulieren mit
- der Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$,
- der Euklidischen Distanz $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$, und
- dem Korrelationswert $〈 x \cdot y 〉$.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Decodierung von Faltungscodes.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Viterbi–Algorithmus – basierend auf Korrelation und Metriken.
- Zur Vereinfachung wird auf „Tilde” und „Apostroph” verzichtet.
- Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf folgenden Seiten dieses Buches:
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Die zwei Binärfolgen seien $\underline{x}$ und $\underline{y}$ mit $x_i ∈ \{-1, \, +1\}, \ y_i ∈ \{-1, \, +1\}$. Die Folgenlänge sei jeweils $L$.
- Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ gibt die Anzahl der Bit an, in denen sich $\underline{x}$ und $\underline{y}$ unterscheiden, für die also $x_i \, - y_i = ±2$ ⇒ $ (x_i \, - y_i)^2 = 4$ gilt.
- Gleiche Symbole $(x_i = y_i)$ tragen zur Hamming–Distanz nicht bei und ergeben $(x_i \, – y_i)^2 = 0$. Nach dem Lösungsvorschlag 3 kann daher geschrieben werden:
- $$ d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2= \frac{1}{4} \cdot d_{\rm E}^2(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$
(2) Alle Lösungsvorschläge sind richtig:
- Beim BSC–Modell ist es allgemein üblich, zum gegebenen Empfangsvektor $\underline{y}$ das Codewort $\underline{x}$ mit der kleinsten Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ auszuwählen:
- $$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$
- Entsprechend der Teilaufgabe (1) gilt aber auch:
- $$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})/4 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm E}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) \hspace{0.05cm}.$$
- Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) ≥ 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ erfolgt.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Das Quadrat der Euklidischen Distanz kann wie folgt ausgedrückt werden:
- $$d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2 = \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} y_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}-2 \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i \cdot y_i \hspace{0.05cm}.$$
- Die beiden ersten Summanden sind jeweils gleich $L$ und müssen für die Minimierung nicht berücksichtigt werden.
- Für den letzten Ausdruck in dieser Gleichung kann $–2 \cdot 〈 \underline{x}, \, \underline{y} 〉$ geschrieben werden.
- Aufgrund des negativen Vorzeichens wird aus der Minimierung eine Maximierung ⇒ Antwort 2.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3.:
- Für den AWGN–Kanal kann im Gegensatz zum BSC keine Hamming–Distanz angegeben werden.
- Ausgehend von der Gleichung
- $$d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) = \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} y_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}-2 \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i \cdot y_i$$
- gelten für den ersten und letzten Summanden die gleichen Aussagen wie für das BSC–Modell – siehe Teilaufgabe (3).
- Für den mittleren Summanden gilt mit $y_i = x_i + n_i$ und $x_i ∈ \{–1, \, +1\}$:
- $$\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} y_i^{\hspace{0.15cm}2} = \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} n_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+2 \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i \cdot n_i \hspace{0.05cm}.$$
- Der erste Summand ergibt wieder $L$, der zweite ist proportional zur Rauschleistung und der letzte Term verschwindet, da $\underline{x}$ und $\underline{n}$ unkorreliert sind.
- Für die Minimerung von $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ muss also die Summe über $y_i^2$ nicht berücksichtigt werden, da kein Bezug zu den Codesequenzen $\underline{x}$ besteht.
