Aufgaben:Aufgabe 3.13: Nochmals zu den Pfadgewichtsfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''(1)''' <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig. Im angepassten Diagramm (B) sind alle Übergänge eingezeichnet: | + | '''(1)''' <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig. Im angepassten Diagramm $\rm (B)$ sind alle Übergänge eingezeichnet: |
− | [[Datei:P_ID2712__KC_A_3_13a.png| | + | [[Datei:P_ID2712__KC_A_3_13a.png|right|frame|Zur Reduktion des Zustandsübergangsdiagramms]] |
*Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist durch „$1 \ | \ 11$” gekennzeichnet. | *Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist durch „$1 \ | \ 11$” gekennzeichnet. | ||
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*Die Ausgangssequenzen $\underline{x}_i = (01)$ sowie $\underline{x}_i = (10)$ werden beide mit $X$ markiert. | *Die Ausgangssequenzen $\underline{x}_i = (01)$ sowie $\underline{x}_i = (10)$ werden beide mit $X$ markiert. | ||
*Unter Berücksichtigung der Eingangsbits erhält man somit: | *Unter Berücksichtigung der Eingangsbits erhält man somit: | ||
− | :$$u_i = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} B(X, U) = D(X, U)= UX\hspace{0.05cm}, | + | :$$u_i = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} B(X, U) = D(X, U)= UX\hspace{0.05cm},$$ |
− | u_i = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} C(X, U) = E(X, U)= X | + | :$$u_i = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} C(X, U) = E(X, U)= X |
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'''(2)''' Entsprechend der Vorgehensweise auf der Seite [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms]] im Theorieteil wird zunächst der Übergang von $S_1$ nach $S_2$ via $S_3$ durch einen <i>Ring</i> zusammengefasst. | '''(2)''' Entsprechend der Vorgehensweise auf der Seite [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms]] im Theorieteil wird zunächst der Übergang von $S_1$ nach $S_2$ via $S_3$ durch einen <i>Ring</i> zusammengefasst. | ||
− | * Man erhält für die rote Hinterlegung im Diagramm | + | * Man erhält für die rote Hinterlegung im Diagramm $\rm (B)$: |
:$$T_1(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} = \frac{X \cdot X}{1- U \cdot X} | :$$T_1(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} = \frac{X \cdot X}{1- U \cdot X} | ||
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− | * Die beiden <i>parallelen Übergänge</i> entsprechend der blauen Hinterlegung im Diagramm | + | * Die beiden <i>parallelen Übergänge</i> entsprechend der blauen Hinterlegung im Diagramm $\rm (C)$ können wie folgt kombiniert werden: |
:$$T_2(X, U) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} T_1(X, U) + B(X, U) =\frac{X^2}{1- U X}+ U X = | :$$T_2(X, U) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} T_1(X, U) + B(X, U) =\frac{X^2}{1- U X}+ U X = | ||
\frac{X^2 + U- U^2X^2}{1- U X} | \frac{X^2 + U- U^2X^2}{1- U X} | ||
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− | * Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion ergibt sich entsprechend Diagramm | + | * Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion ergibt sich entsprechend Diagramm $\rm (D)$ als <i>Rückkopplung</i>: |
:$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot G(X, U)\cdot T_2(X, U)}{1- F(X, U) \cdot T_2(X, U)} | :$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot G(X, U)\cdot T_2(X, U)}{1- F(X, U) \cdot T_2(X, U)} | ||
= \frac{UX^2 \cdot UX^2\cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}{1- 1 \cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}\hspace{0.05cm}.$$ | = \frac{UX^2 \cdot UX^2\cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}{1- 1 \cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}\hspace{0.05cm}.$$ |
Aktuelle Version vom 1. Juli 2019, 16:59 Uhr
Auf der Seite Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms wurde für das Beispiel unseres Rate–1/2–Standardcodes mit Gedächtnis $m = 2$ und der Übertragungsfunktionsmatrix
- $${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big )$$
die Berechnung der Pfadgewichtsfunktionen sehr ausführlich beschrieben. Als Ergebnisse wurden genannt:
- $$T_{\rm enh}(X, U) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{U\hspace{-0.05cm} X^5}{1- 2U\hspace{-0.05cm}X} =U\hspace{-0.05cm}X^5 \cdot \big [ 1 + (2U\hspace{-0.08cm}X) + (2U\hspace{-0.08cm}X)^2 + \text{...} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.01cm},$$
- $$T(X) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{X^5}{1- 2X} = X^5 \cdot \big [ 1 + (2X) + (2X)^2 + \text{...} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
Nun sollen die gleichen Berechnungen für den äquivalenten systematischen Code mit der Übertragungsfunktionsmatrix
- $${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} (1 + D^2)/(1 + D + D^2) \hspace{0.05cm}\big )$$
durchgeführt werden.
- Die Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm $\rm (A)$ und die Struktur des reduzierten Diagramms $\rm (B)$, wobei die Übergänge mit $A(X, \, U), \ \text{...}\ , \ G(X, \, U)$ allgemein bezeichnet sind.
- In der Teilaufgabe (1) sollen diese Abkürzungen an das Zustandsübergangsdiagramm $\rm (A)$ angepasst werden.
Hinweise:
- Die Aufgabegehört zum Kapitel Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
- Zur Lösung der Teilaufgaben (2) und (3) verweisen wir hier nochmals auf die Seite Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms im Theorieteil.
Fragebogen
Musterlösung
- Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist durch „$1 \ | \ 11$” gekennzeichnet.
- Die Ausgangssequenz $\underline{x}_i = (11)$ wird durch $X^2$ ausgedrückt, das Eingangsbit $u_i = 1$ durch $U$.
- Das gleiche Ergebnis erhält man für $G(X, \, U)$:
- $$A(X, U) = G(X, U)= UX^2 \hspace{0.05cm}.$$
- Die Ausgangssequenzen $\underline{x}_i = (01)$ sowie $\underline{x}_i = (10)$ werden beide mit $X$ markiert.
- Unter Berücksichtigung der Eingangsbits erhält man somit:
- $$u_i = 1\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} B(X, U) = D(X, U)= UX\hspace{0.05cm},$$
- $$u_i = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} C(X, U) = E(X, U)= X \hspace{0.05cm}.$$
- Der Übergang „$0 \ | \ 00$” von $S_2$ nach $S_1$ wird durch $F(X, \, U) = 1$ ausgedrückt.
(2) Entsprechend der Vorgehensweise auf der Seite Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms im Theorieteil wird zunächst der Übergang von $S_1$ nach $S_2$ via $S_3$ durch einen Ring zusammengefasst.
- Man erhält für die rote Hinterlegung im Diagramm $\rm (B)$:
- $$T_1(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} = \frac{X \cdot X}{1- U \cdot X} \hspace{0.05cm}.$$
- Die beiden parallelen Übergänge entsprechend der blauen Hinterlegung im Diagramm $\rm (C)$ können wie folgt kombiniert werden:
- $$T_2(X, U) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} T_1(X, U) + B(X, U) =\frac{X^2}{1- U X}+ U X = \frac{X^2 + U- U^2X^2}{1- U X} \hspace{0.05cm}.$$
- Die erweiterte Pfadgewichtsfunktion ergibt sich entsprechend Diagramm $\rm (D)$ als Rückkopplung:
- $$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot G(X, U)\cdot T_2(X, U)}{1- F(X, U) \cdot T_2(X, U)} = \frac{UX^2 \cdot UX^2\cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}{1- 1 \cdot \frac{X^2 + UX- U^2X^2}{1- U X}}\hspace{0.05cm}.$$
Dem Autor ist es auch nach mehreren Versuchen nicht gelungen, diesen Ausdruck zielführend weiter zu vereinfachen. Er tendiert zum Lösungsvorschlag 3 mit dem Zusatz „ohne Gewähr”.
- Dieses Ergebnis würde jedoch bedeuten, dass sich die erweiterte Pfadgewichtsfunktion des äquivalenten systematischen Codes von der des nichtsystematischen Codes unterscheidet.
- Wir werden diese Frage noch mit einem Fachmann klären.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Setzt man in der erweiterten Funktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$ den Formalparameter $U = 1$, so erhält man den Lösungsvorschlag 1:
- $$T(X) = \frac{X^4 \cdot \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}{1- \frac{X^2 + X- X^2}{1- X}}= \frac{X^5 }{1- X - X} = \frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \ \text{...}\ $ kommt man zum Lösungsvorschlag 2.
- Das heißt: Die einfache Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ stimmt bei beiden Codes überein.