Applets:Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung

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Programmbeschreibung

Dieses Applet verdeutlicht die Faltungsoperation im Zeitbereich

• zwischen einem Eingangsimpuls  $x(t)$   ⇒   Rechteck, Dreieck, Gauß, Exponentialfunktion
• und der Impulsantwort  $h(t)$  eines LZI–Systems mit Tiefpass–Charakter  ⇒   Spalt–Tiefpass, Tiefpass erster bzw. zweiter Ordnung, Gauß–Tiefpass.

Für das Ausgangssignal  $y(t)$  entsprechend dem Blockschaltbild im  $\text{Beispiel 1}$  gilt dann, wie im Kapitel  Grafische Faltung  dargelegt:

$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

Bei kausalen Systemen   ⇒    $h(t) \equiv 0$  für  $t < 0$  (Beispiele: Spalt–Tiefpass sowie Tiefpass erster und zweiter Ordnung)   kann hierfür auch geschrieben werden:

$$y( t ) = \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

Bitte beachten Sie:

• Alle Größen – auch die Zeit $t$ – sind normiert (dimensionslos) zu verstehen.
• Alle einstellbaren Funktionen  $x(t)$,  $h(t)$  und  $y(t)$  können keine negativen Signalwerte annehmen.
• Die absolute Dauer  eines Impulses  $y(t)$  ist der (zusammenhängende) Zeitbereich, für den  $y(t) > 0$  gilt.
• Die äquivalente Dauer  eines Impulses ist über das flächengleiche Rechteck berechenbar.

Theoretischer Hintergrund

Faltung im Zeitbereich

Der  Faltungssatz  ist mit das wichtigste Gesetz der Fouriertransformation. Wir betrachten zunächst den Faltungssatz im Zeitbereich und setzen voraus, dass die Spektren zweier Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bekannt sind:

$$X_1 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}x_1( t ),\quad X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_2 ( t ).$$

Dann gilt für die Zeitfunktion des Produktes  $X_1(f) \cdot X_2(f)$:

$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Hierbei ist  $\tau$  eine formale Integrationsvariable mit der Dimension einer Zeit.

$\text{Definition:}$  Die obige Verknüpfung der Zeitfunktion  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bezeichnet man als  Faltung  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = x_{\rm{2} } (t) * x_{\rm{1} } (t) .$$

Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:

$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$

$\text{Beweis}$

Anmerkung:   Die Faltung ist  kommutativ   ⇒   Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar:   ${ {x}}_{\rm{1}} ( t ) * { {x}}_{\rm{2}} (t ) ={ {x}}_{\rm{2}} ( t ) * { {x}}_{\rm{1}} (t ) $.

Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI–Ausgang

$\text{Beispiel 1:}$  Ein jedes lineare zeitinvariante (LZI-) System kann sowohl durch den Frequenzgang  $H(f)$  als auch durch die Impulsantwort  $h(t)$  beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen diesen beiden Systemgrößen ebenfalls durch die Fouriertransformation gegeben ist.

Legt man an den Eingang ein Signal  $x(t)$  mit dem Spektrum  $X(f)$  an, so gilt für das Spektrum des Ausgangssignals:

$$Y(f) = X(f) \cdot H(f)\hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Faltungssatz ist es nun möglich, das Ausgangssignal auch direkt im Zeitbereich zu berechnen:

$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm} {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = h(t) * x( t ).$$

Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation  kommutativ  ist.

Faltung im Frequenzbereich

Die Dualität zwischen Zeit– und Frequenzbereich erlaubt auch Aussagen hinsichtlich des Spektrums des Produktsignals:

$$x_1 ( t ) \cdot x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 (f) * X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X_1 ( \nu )} \cdot X_2 ( {f - \nu })\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu.$$

Dieses Resultat lässt sich ähnlich wie der  Faltungssatz im Zeitbereich  beweisen. Die Integrationsvariable  $\nu$  hat aber nun die Dimension einer Frequenz.

Faltung im Frequenzbereich

$\text{Beispiel 2:}$  Die  Zweiseitenband-Amplitudenmodulation  (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.

• Bei der Zeitbereichsdarstellung (blau) ergibt sich das modulierte Signal  $s(t)$  als das Produkt aus dem Nachrichtensignal  $q(t)$  und dem (normierten) Trägersignal  $z(t)$.
• Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum  $S(f)$  gleich dem Faltungsprodukt aus  $Q(f)$  und  $Z(f)$  ist.

Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion

Sehr einfach wird die Faltungsoperation, wenn einer der beiden Operanden eine  Diracfunktion  ist. Dies gilt für die Faltung im Zeit– und im Frequenzbereich gleichermaßen.

Wir betrachten beispielhaft die Faltung einer Funktion  $x_1(t)$  mit der Funktion

$$x_2 ( t ) = \alpha \cdot \delta ( {t - T} ) \quad \circ\,\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad X_2 ( f )= \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T}.$$

Für die Spektralfunktion des Signals  $y(t) = x_1(t) \ast x_2(t)$  gilt dann:

$$Y( f ) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = X_1 ( f ) \cdot \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.03cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.01cm}f\hspace{0.01cm}T} .$$

Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um  $T$   ⇒   Verschiebungssatz, der Faktor  $\alpha$  zu einer Dämpfung  $(\alpha < 1)$  bzw. einer Verstärkung  $(\alpha > 1)$. Daraus folgt:

$$x_1 (t) * x_2 (t) = \alpha \cdot x_1 ( {t - T} ).$$

$\text{In Worten: }$  Die Faltung einer beliebigen Funktion mit einer Diracfunktion bei  $t = T$  ergibt die um  $T$  nach rechts verschobene Funktion, wobei noch die Gewichtung der Diracfunktion durch den Faktor  $\alpha$  zu berücksichtigen ist.

$\text{Beispiel 3:}$  Ein Rechtecksignal  $x(t)$  wird durch ein LZI-System um eine Laufzeit  $\tau = 3\,\text{ ms}$  verzögert und um den Faktor  $\alpha = 0.5$  gedämpft.

Faltung eines Rechtecks mit einer Diracfunktion

Verschiebung und Dämpfung erkennt man sowohl am Ausgangssignal  $y(t)$  als auch an der Impulsantwort  $h(t)$.

Grafische Faltung

In diesem Applet wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:

Bildschirmabzug des Programms „Grafische Faltung” (frühere Version)

$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen. Es wird vorausgesetzt, dass  $x(t)$  und  $h(t)$  zeitkontinuierliche Signale sind.

Dann sind die folgenden Schritte erforderlich:

1.   Die  Zeitvariablen  der beiden Funktionen  ändern:  
       $x(t) \to x(\tau)$,   $h(t) \to h(\tau)$.
2.   Zweite Funktion spiegeln:   $h(\tau) \to h(-\tau)$.
3.   Gespiegelte Funktion um  $t$  verschieben:   $h(-\tau) \to h(t-\tau)$.
4.   Multiplikation der beiden Funktionen  $x(\tau)$  und  $h(t-\tau)$.
5.   Integration  über das Produkt bezüglich  $\tau$  in den Grenzen von  $-\infty$  bis  $+\infty$.

Da die Faltung kommutativ ist, kann anstelle von  $h(\tau)$  auch  $x(\tau)$  gespiegelt werden.

Nebenstehende Grafik zeigt einen Bildschirmabzug einer älteren Programmversion.

Beispiel einer Faltungsoperation:
Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion

$\text{Beispiel 4:}$  Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:

• Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion  $x(t) = \gamma(t)$  an.
• Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei  $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$

Die Grafik zeigt rot das Eingangssignal  $x(\tau)$, blau die Impulsantwort  $h(\tau)$ und grau das Ausgangssignal  $y(\tau)$. Die Zeitachse ist bereits in  $\tau$  umbenannt.

Das Ausgangssignal kann zum Beispiel nach folgender Gleichung berechnet werden:

$$y(t) = h(t) * x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Noch einige Anmerkungen zur grafischen Faltung:

• Der Ausgangswert bei  $t = 0$  ergibt sich, indem man das Eingangssignal  $x(\tau)$  spiegelt, dieses gespiegelte Signal  $x(-\tau)$  mit der Impulsantwort  $h(\tau)$  multipliziert und darüber integriert.
• Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve  $h(\tau)$  und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung  $x(-\tau)$  ungleich Null ist, folgt daraus  $y(t=0)=0$.
• Für jeden anderen Zeitpunkt  $t$  muss das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für  $t=T$.
• Da in diesem Beispiel auch  $x(t-\tau)$  nur die Werte  $0$  oder  $1$  annehmen kann, wird die Integration  $($allgemein von  $\tau_1$  bis  $\tau_2)$  einfach und man erhält mit  $\tau_1 = 0$  und  $\tau_2 = t$ :

$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$

Die Skizze gilt für  $t=T$  und führt zum Ausgangswert  $y(t=T) = 1 – 1/\text{e} \approx 0.632$.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer. Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
• Alle Parameter sind angepasst. Alle Grafiken und Ergebniswerte sind aktualisiert.
• Musterlösung nach Drücken des entsprechenden Buttons.
• Nummer „0”:   Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

(1)   Wählen Sie die Parameter gemäß Voreinstellung  $\text{(Gaußimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 1; \text{ Impulsantwort gemäß Tiefpass 2. Ordnung: }\Delta t_h= 1)$.
         Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken. Wie groß ist der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf?

•  Nach Umbenennung:  Eingangssignal  $x(\tau)$   ⇒   rote Kurve,  Impulsantwort  $h(\tau)$   ⇒   blaue Kurve, nach Spiegelung  $h(-\tau)$   ⇒   grüne Kurve.
•  Verschiebt man die grüne Kurve um  $t$  nach rechts, so erhält man $h(t-\tau)$. $y(t)$  ergibt sich durch Multiplikation und Integration bzgl. $\tau$:

$$y (t) = \int_{ - \infty }^{ +\infty } {x ( \tau ) } \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ t } {x ( \tau ) } \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$

•  Der Ausgangsimpuls  $y_(t)$  ist im vorliegenden Fall unsymmetrisch; der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}\approx 0.67$  tritt bei  $t_{\rm max}\approx 1.5$  auf.

(2)   Was ändert sich, wenn man die äquivalente Impulsdauer von  $h(t)$  auf  $\Delta t_h= 1.5$  erhöht?

•  $y_{\rm max}\approx 0.53$  tritt nun bei  $t_{\rm max}\approx 1.75$  auf. Durch die ungünstigere Impulsantwort wird der Eingangsimpuls stärker verformt.
•  Bei einem digitalen Nachrichtenübertragungssystem hätte dies stärkere Impulsinterenzen (Intersymbol Interference ) zur Folge.

(3)   Wählen Sie nun den symetrischen  $\text{Rechteckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0$  und die  $\text{Impulsantwort gemäß Spalt–Tiefpass: }\Delta t_h= 1$.
         Interpretieren Sie das Faltungsergebnis. Wie groß ist der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welchen Zeiten ist  $y(t)>0$? Beschreibt  $h(t)$  ein kausales System?

•  Die Faltung zweier Rechtecke mit jeweiliger Dauer  $1$  ergibt ein Dreieck mit absoluter Dauer  $2$  ⇒   äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_y= 1$.
•  $y(t)$  ist im Bereich von  $-0.5$  bis  $+1.5$  von Null verschieden. Impulsmaximum  $y_{\rm max} = 1$  bei  $t_{\rm max} = +0.5$.
•  $h(t)$  beschreibt ein kausales System, da  $h(t) \equiv 0$  für  $t < 0$  ⇒   die „Wirkung”  $y(t)$  kommt nicht vor der „Ursache”  $x(t)$.

(4)   Was ändert sich, wenn man die äquivalente Impulsdauer von  $h(t)$  auf  $\Delta t_h= 2$  erhöht?

•  Die Faltung zweier unterschiedlich breiten Rechtecke ergibt ein Trapez, hier zwischen  $-0.5$  und  $+2.5$ ⇒   äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_y= 2$.
•  Das Maximum  $y_{\rm max} = 0.5$  tritt im Bereich  $0.5 \le t \le 1.5$ auf. Bezüglich der Kausalität ändert sich nichts.

(5)   Wählen Sie nun den (unsymetrischen)  $\text{Rechteckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0.5$  und die  $\text{ Impulsantwort eines Tiefpasses 1. Ordnung: }\Delta t_h= 1$.
         Interpretieren Sie die Ergebnisse. Wie groß ist  $y_{\rm max}$? Zu welchen Zeiten ist  $y(t)>0$ ? Beschreibt  $h(t)$  ein kausales System?

•  $h(t)$  hat für  $t > 0$  einen exponentiell abfallenden Verlauf. Für  $t > 0$  gilt stets  $y(t) > 0$, aber die Signalwerte können sehr klein werden.
•  $y_{\rm max} = 0.63$  tritt bei  $t_{\rm max} = +1$ auf. Für  $ t < t_{\rm max}$ ist der Verlauf exponentiell ansteigend, für  $ t > t_{\rm max}$  exponentiell abfallend.
•  Der Tiefpass 1. Ordnung kann mit einem Widerstand und einer Kapazität realisiert werden. Jedes realisierbare System ist per se kausal.

(6)   Wählen Sie wie in  (3)  die rechteckförmige Impulsantwort  $\text{(Spalt–Tiefpass; }\Delta t_h= 1)$. Mit welchem  $x(t)$  ergibt sich das gleiche  $y(t)$  wie bei  (5)?

•  Das Signal  $y(t)$  in  (5)  ergab sich als Faltung zwischen dem rechteckigen Eingang  $x(t)$  und der Exponentialfunktion  $h(t)$.
•  Da die Faltungsoperation kommutativ ist, ergibt sich das gleiche Ergebnis mit der Exponentialfunktion  $x(t)$ und der Rechteckfunktion  $h(t)$.
•  Die richtige Einstellung für das Eingangssignal  $x(t)$  ist somit  $\text{Exponentialimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1, \ \tau_x = 0$ .

(7)   Für den Rest dieser Versuchsdurchführung betrachten wir stets den Gauß–Tiefpass. Die äquivalente Dauer der Impulsantwort  $h(t)$  sei zunächst  $\Delta t_h= 0.8$.
         Analsyieren und interpretieren Sie dieses „System” im Hinblick auf Kausalität und die entstehenden Verzerrungen für ein Rechtecksignal.

•  Der Tiefpass ist nicht kausal (realisierbar): für  $t < 0$  gilt nicht  $h(t) \equiv 0$  gilt. Geeignetes Modell, wenn man die unendliche Laufzeit außer Acht lässt.
•  Je größer  $\Delta t_h$  ist, desto breiter wird der Ausgangsimpuls und um so stärker die Degradation eines Digitalsystems durch Impulsinterferenzen.
•  Der Tiefpass–Frequenzgang  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $h(t)$. Je größer  $\Delta t_h$  ist, desto kleiner ist  $\Delta f_h = 1/\Delta t_h$.

(8)   Wählen Sie nun den  $\text{Gaußimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1.5, \ \tau_x = 0$  und den  $\text{Gauß–Tiefpass: }\Delta t_h= 2$. Welche Form hat der Ausgangsimpuls  $y(t)$?
         Wie groß ist die äquivalente Dauer  $\Delta t_y$  des Ausgangsimpulses und der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf?

•  $y(t)$  ist ebenfalls (exakt) gaußförmig. Merksatz:  Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß.
•  Äquivalente Dauer:  $\Delta t_y =\sqrt{\Delta t_x^2+ \Delta t_h^2} = 2.5$. Impulsmaximum $($bei $t=0)$:  $y_{\rm max} = A_x \cdot \Delta t_x/\Delta t_y = 1 \cdot 1.5/2.5 = 0.6$.

(9)   Wählen Sie nun den  $\text{Dreieckimpuls: }A_x = 1, \ \Delta t_x= 1.5, \ \tau_x = 0$  und den  $\text{Gauß–Tiefpass: }\Delta t_h= 2$. Welche Form hat der Ausgangsimpuls  $y(t)$?
         Wie groß ist die äquivalente Dauer  $\Delta t_y$  des Ausgangsimpulses und der maximale Ausgangswert  $y_{\rm max}$? Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  tritt dieser auf?

•  $y(t)$  ist gaußähnlich, aber nicht exakt gaußförmig. Merksatz:  Gauß gefaltet mit Nicht–Gauß ergibt niemals exakt Gauß.
•  Die abgefragten Kenngrößen des Ausgangsimpules  $y(t)$  unterscheiden sich nur geringfügig gegenüber  (8):  $\Delta t_y \approx 2.55$,  $y_{\rm max} \approx 0.59$.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Auswahl:   Form des Eingangsimpulses  $x(t)$

    (B)     Parametereingabe für den Eingangsimpuls  $x(t)$

    (C)     Auswahl:   Form der Impulsantwort  $h(t)$  des Tiefpass–Systems

    (D)     Parametereingabe für die Impulsantwort  $h(t)$

    (E)     Bedienfeld (Start – Pause/Weiter – Step – Reset)

    (F)     Ausgabe des Ausgangswertes  $y(t)$  zur fortlaufenden Zeit  $t$

    (G)     Maximalwert  $y_{\rm max} = y(t_{\rm max})$  und äquivalente Breite $\Delta\hspace{0.03cm} t_y$

    (H)     Ausgabe der numerisch ermittelten Entropienäherungen  $\hat H_k$

    (I)     Grafikfeld zur Darstellung der Funktion  $H(p_{\rm A})$  bzw.  $H(p_{\rm A}|p_{\rm B})$

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    (K)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    (L)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung

Über die Autoren

Dieses interaktive Applet wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2006 von  Markus Elsberger  im Rahmen seiner Bachelorarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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