Applets:Diskrete Fouriertransformation und Inverse

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!!! Diese App wird gerade entwickelt. Entwicklungsstufe 0. Hat mit dem angekündigten Thema noch nichts zu tun!!!

Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen  $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:  $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt

• die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
• die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
• die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
• die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  Plot.ly

Theoretischer Hintergrund

Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   2D–WDF

Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer  zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY =(X, Y)$  zusammenzufassen. Dann gilt:

$\text{Definition:}$  Die  Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF,  englisch:  Probability Density Function, kurz: PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$:

$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X \le x + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

• Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
• $∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
• $X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
• Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im Theorieteil.

Anhand dieser 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen   ⇒   Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$

$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen  $f_X(x)$  und  $f_Y(y)$

• liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten  $X$  bzw.  $Y$,
• nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.

Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen   ⇒   Korrelation  verwendet man

• die  Kovarianz  $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:

$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y ,$$

• den  Korrelationskoeffizienten  nach Normierung auf die beiden Effektivwerte  $σ_X$  und $σ_Y$  der beiden Komponenten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$ 

• Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
• Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$ unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
• Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$ ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
• Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
• Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.

2D–WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen

Für den Sonderfall  Gaußscher Zufallsgrößen  – der Name geht auf den Wissenschaftler  Carl Friedrich Gauß  zurück – können wir weiterhin vermerken:

• Die Verbund–WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße  $XY$  mit Mittelwerten  $m_X = 0$  und  $m_Y = 0$  sowie dem Korrelationskoeffizienten  $ρ = ρ_{XY}$  lautet:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$

• Ersetzt man  $x$  durch  $(x - m_X)$  sowie  $y$  durch  $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
• Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen  $σ_X$  bzw.  $σ_Y$.
• Bei unkorrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$ muss in obiger Gleichung  $ρ = 0$  eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

$\text{Fazit:}$  Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF  $f_{XY}(x, y)$  folgt aus der  Unkorreliertheit  auch direkt die  statistische Unabhängigkeit:

$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) . $$

Bitte beachten Sie:

• Bei keiner anderen WDF kann aus der  Unkorreliertheit  auf die  statistische Unabhängigkeit  geschlossen werden.
• Man kann aber stets   ⇒   für jede beliebige 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  von der  statistischen Unabhängigkeit  auf die  Unkorreliertheit  schließen, weil:
• Sind zwei Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine linearen  Abhängigkeiten  
  ⇒   sie sind dann auch unkorreliert  ⇒   $ρ = 0$.

Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen

Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen

Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.

Sind die Komponenten  $X$  und  $Y$ unkorreliert  $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$

Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:

• Kreise  (falls  $σ_X = σ_Y$,   grüne Kurve), oder
• Ellipsen  (für  $σ_X ≠ σ_Y$,   blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.

Korrelationsgerade

Als  Korrelationsgerade  bezeichnet man die Gerade  $y = K(x)$  in der  $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:

Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und
Korrelationsgerade  $y = K(x)$

• Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in  $y$–Richtung betrachtet und über alle  $N$  Messpunkte gemittelt – ist minimal:

$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

• Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$

• Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur  $x$–Achse einnimmt, beträgt:

$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$

Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen

Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.

Ausnahme:  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  Aufgabe 4.4  im Buch „Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe  (5).

Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen

Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:

$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$

Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.

• Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
• Die  Korrelationsgerade  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.

Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:

• Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten  $ρ_{XY}$  auch vom Verhältnis der beiden Streuungen  $σ_X$  und  $σ_Y$  ab.
• Der Neigungswinkel  $α$  der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der  $x$–Achse hängt ebenfalls von  $σ_X$,  $σ_Y$  und  $ρ_{XY}$  ab:

$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$

• Die (rote) Korrelationsgerade  $y = K(x)$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
• $K(x)$  kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.

Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF

$\text{Definition:}$  Die  2D-Verteilungsfunktion  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  eindimensionalen Verteilungsfunktion  (VTF):

$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der „1D-VTF” und der„ 2D-VTF”:

• Der Funktionalzusammenhang zwischen „2D–WDF” und „2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:

$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$

• Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$

• Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:

$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm} F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$

• Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die „2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  Normierungsbedingung  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:

• Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
• Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
• Für die „1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

(1)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (a): Gleichsignal}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen FT? 

•  Im Zeitbereich sind alle  $d(\nu) =1$. Dann sind alle  $D(\mu) =0$  mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(0)] =1$.
•  Dies entspricht bei der herkömmlichen (zeitkontinuierlichen) Fouriertransformation:   $x(t) = A\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = A \cdot \delta(f=0)$  mit  $A=1$.

(2)  Gehen Sie vom erhaltenen $D(\mu)$–Feld aus und verschieben Sie alle Koeffizienten um eine Stelle nach unten. Welche Zeitfunktion liefert die  $\rm IDFT$? 

•  Nun sind alle  $D(\mu) =0$  mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Das Zeitbereichsergebnis ist eine komplexe Exonentialfunktion.
•  Der Realteil des   $d(\nu)$–Feldes zeigt einen Cosinus und der Imaginärteil eine Sinusfunktion. Bei beiden Funktionen erkennt man jeweils eine Periode.

(3)  Ergänzen Sie das aktuelle $D(\mu)$–Feld  um den Koeffizienten  ${\rm Im}\big [D(1)] =1$. Welche Unterschiede erkennt man gegenüber (2) im Zeitbereich? 

•  Zum einen erkennt man nun bei Realteil und Imaginärteil eine Phasenverschiebung um zwei Stützwerte. Dies entspricht der Phase  $\varphi = 45^\circ$.
•  Zudem wurden die Amplituden von Real– und Imaginärteil jeweils um den Faktor  $\sqrt{2}$  vergrößert.

(4)  Setzen Sie das $D(\mu)$–Feld auf Null mit Ausnahme von  ${\rm Re}\big [D(1)] =1$. Durch welchen zusätzlichen $D(\mu)$–Koeffizienten erhält man ein reelles  $d(\nu)$–Feld?

•  Durch Probieren oder Nachdenken erkennt man, dass auch  ${\rm Re}\big [D(15)] =1$  gesetzt werden muss. Dann beschreibt das $d(\nu)$–Feld einen Cosinus.
•  Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:   $x(t) = 2 \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = \delta(f -f_0)+\delta(f +f_0)$.
•  Das Feld  $D(1)$  steht für die Frequenz  $f_0$  und aufgrund der Periodizät mit  $N=16$  wird die Frequenz  $-f_0$  durch  $D(15) = D(-1)$  ausgedrückt.

(5)  Mit welchem $D(\mu)$–Feld erhält man nach der  $\rm IDFT$  im  $d(\nu)$–Feld eine reelle Cosinusfunktion mit der Amplitude $A=1$?

•  Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenso wie die herkömmliche Fouriertransformation linear   ⇒   $D(1) = D(15)=0.5$.

(6)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (e): Cosinussignal}$ und anschließende Signalverschiebungen.  Was bewirken diese Verschiebungen im Frequenzbereich? 

•  Eine Verschiebung im Zeitbereich verändert das Cosinussignal zu einer „Harmonischen Schwingung” mit beliebiger Phase.
•  Das  $D(\mu)$–Feld ist weiterhin Null bis auf  $D(1)$  und  $D(15)$. Die Beträge   $|D(1)|$  und  $|D(15)|$  bleiben ebenfalls gleich.
•  Die alleinige Veränderung betrifft die Phase, also die unterschiedliche Aufteilung der Beträge auf Real– und Imaginärteil.

(7)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (f): Sinussignal}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen FT? 

•  Das Sinussignal ergibt sich aus dem Cosinussignal durch vier Zeitverschiebungen. Deshalb gelten alle Aussagen von (6) weiterhin.
•  Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:   $x(t) = \sin(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = {\rm j}/2 \cdot \big [\delta(f +f_0)-\delta(f -f_0)\big ]$.
•  Der Koeffizient  $D(1)$   ⇒   $($Frequenz: $+f_0)$  ist imaginär und hat den Imaginärteil  $-0.5$. Entsprechend gilt  ${\rm Im}\big [D(15)] =+0.5$   ⇒   $($Frequenz: $-f_0)$.

(8)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Aufgabe  (5).

•  Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:   $x(t) = \cos(2\pi \cdot (2f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -2 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +2f_0)$.
•  Für die Frequenz  $2f_0$ steht das Feld  $D(2)$  und für die Frequenz  $-2f_0$ aufgrund der Periodizät das Feld  $D(14) = D(-2)$ :   $D(2) = D(14) = 0.5$.

(9)  Untersuchen Sie nun den Fall  $\text{DFT von Sinussignal (zwei Perioden)}$. Welche Einstellung müssen Sie vornehmen? Interpretieren Sie das Ergebnis.

•  Zum gewünschten Signal kommt man von  $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$  mit zwei Verschiebungen. Bei  (7):  Vier Verschiebungen.
•   Das DFT–Ergebnis lautet dementsprechend:  ${\rm Im}\big [D(2)] =-0.5$  und  ${\rm Im}\big [D(14)] =+0.5$.

(10)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von (h) Alternierende Zeitkoeffizienten}$. Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis.

•  Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:   $x(t) = \cos(2\pi \cdot (8f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -8 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +8f_0)$.
•  $8f_0$  ist die höchste mit  $N=16$  in der DFT darstellbare Frequenz. Pro Periodendauer gibt es nur zwei Abtastwerte, nämlich  $+1$  und  $-1$.
•  Unterschied zur Teilaufgabe  (5): Aus  $D(1) =0.5$  wird nun  $D(8) =0.5$. Ebenso verschiebt sich  $D(15) =0.5$  auf  $D(8) =0.5$.   Endergebnis:  $D(8) =1$.

(11)  Welche Unterschiede erhält man mit den beiden Einstellungen     $\text{IDFT von Spektrum (C)}$  sowie    $\text{DFT von Signal (c)}$ ?

•  Im ersten Fall  ⇒   ${\rm Re}\big [D(\mu=1)] = 1$  ergibt sich im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $x(t) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$  mit positivem Vorzeichen.
•  Im zweiten Fall  ⇒   ${\rm Re}\big [d(\nu=1)] = 1$  ergibt sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $X(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$  mit negativem Vorzeichen.
•  Für  ${\rm Re}\big [d(\nu=15)] = 1$  würde sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $X(f) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$  mit positivem Vorzeichen ergeben.

(12)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von (k) Dreieckimpuls}$. Interpretieren Sie die $d(\nu)$–Belegung und das DFT–Ergebnis.

•  Wählen Sie die Betragsdarstellung. $x(t)$  ist symmetrisch um  $t=0$  und erstreckt sich von  $-T/2$  bis  $+T/2$. Es gilt  $T_{\rm A} = T/16$.  $d(\nu)$–Belegung:
• $d(0)=x(0)= 1$, $d(1)=x(T_{\rm A})= 0.875$, ... ,  $d(8)=x(8T_{\rm A})= 0$,  $d(9)=x(-7T_{\rm A})= 0.125$, ...,  $d(15)=x(-T_{\rm A})= 0.875$.
• Im Frequenzbereich:  Erst der Gleichanteil  ⇒  $D(0)$, dann positive Frequenzen  ⇒  $D(1) ,\text{...},D(8)$, dann negative Frequenzen (gespiegelt)  ⇒  $D(9), \text{...},D(15)$.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Parametereingabe per Slider:  $\sigma_X$,  $\sigma_Y$ und  $\rho$

    (B)     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    (C)     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    (D)     Höhenlinien darstellen anstelle von „1D-WDF”

    (E)     Darstellungsbereich für „2D-WDF”

    (F)     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    (G)     Darstellungsbereich für „1D-WDF” bzw. „Höhenlinien”

    (H)     Manipulation der 2D-Grafik („1D-WDF”)

    ( I )     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    (K)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

    ( L)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung







Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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