Aufgaben:Aufgabe 2.1: Linear? - Nichtlinear?: Unterschied zwischen den Versionen
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:$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$ | :$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$ | ||
| − | *Über das System $S_2$ mit Eingang $y(t)$ und Ausgang $z(t)$ ist nichts weiter bekannt. | + | *Über das System $S_2$ mit Eingang $y(t)$ und Ausgang $z(t)$ ist nichts weiter bekannt. |
| − | *Das System $S_3$ ist die Zusammenschaltung von $S_1$ und $S_2$. | + | *Das System $S_3$ ist die Zusammenschaltung von $S_1$ und $S_2$. |
| − | An den Eingang wird eine Schwingung mit der Frequenz $f_0 = 5 \ \rm kHz$ angelegt: | + | An den Eingang wird eine Schwingung mit der Frequenz $f_0 = 5 \ \rm kHz$ angelegt: |
:$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$ | :$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$ | ||
| − | Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems $S_3$: | + | Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems $S_3$: |
:$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$ | :$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$ | ||
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| − | {Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale $x(t)$ und $z(t)$ kennt, aber nicht den Aufbau von $S_3$? | + | {Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale $x(t)$ und $z(t)$ kennt, aber nicht den Aufbau von $S_3$? |
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- $S_3$ ist ein ideales System. | - $S_3$ ist ein ideales System. | ||
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| − | {Welches Signal $z(t)$ könnte sich mit der Eingangsfrequenz $f_0 = 10 \ \rm kHz$ ergeben? | + | {Welches Signal $z(t)$ könnte sich mit der Eingangsfrequenz $f_0 = 10 \ \rm kHz$ ergeben? |
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| − | + Das Signal $z(t)$ ist für alle Zeiten Null. | + | + Das Signal $z(t)$ ist für alle Zeiten Null. |
- Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$ | - Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$ | ||
+ Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$ | + Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$ | ||
Version vom 28. Oktober 2019, 08:47 Uhr
Zusammengeschaltetes System
Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $z(t)$:
- Das System $S_1$ ist durch folgende Gleichung beschreibbar:
- $$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$
- Über das System $S_2$ mit Eingang $y(t)$ und Ausgang $z(t)$ ist nichts weiter bekannt.
- Das System $S_3$ ist die Zusammenschaltung von $S_1$ und $S_2$.
An den Eingang wird eine Schwingung mit der Frequenz $f_0 = 5 \ \rm kHz$ angelegt:
- $$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$
Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems $S_3$:
- $$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Klassifizierung der Verzerrungen.
- Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:
- $$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \big[ 1 + \cos(2\alpha)\big].$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:
- $$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0 t ) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 2f_0 \cdot t ) \big].$$
Zum Zeitpunkt $t= 0$ tritt somit der Signalwert 6 V auf.
(2) Möglich sind die Alternativen 2 und 3:
- Ein ideales System kommt wegen $z(t) ≠ x(t)$ nicht in Frage.
- Bei nur einer Eingangsfrequenz $(f_0 = 5 \ \rm kHz)$ im Testsignal ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente mit $f \ne f_0$ ebenfalls um $\alpha = 0.5$ gedämpft und um $\tau = T_0/4 = 50 \ µ\rm s$ verzögert würde.
- Ergäbe sich für die zweite Frequenz $\alpha = 0.5$ und $\tau = T_0/4 = 50 \ µ \rm s$, so könnte ein verzerrungsfreies System vorliegen.
- Ergäbe sich für die zweite Frequenzkomponente $\alpha \ne 0.5$ und/oder $\tau \ne T_0/4$, so wäre das System linear verzerrend.
- Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Der Beobachter würde erkennen, dass $S_2$ ein linear verzerrendes System ist.
- Bei einem verzerrungsfreien System müsste $z(t)$ zusätzlich noch eine Gleichkomponente und eine $10 \ \rm kHz$–Komponente beinhalten, bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile $($bei Vielfachen von $10 \ \rm kHz)$.
(4) In diesem Fall würde gelten:
- $$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) \big].$$
Das heißt: $Y(f)$ würde Spektrallinien bei $f = 0$, $10 \ \rm kHz$ und $20 \ \rm kHz$ aufweisen.
Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit $f_0 = 5 \ \rm kHz$ hat aber gezeigt, dass $H_2(f = 0) = H_2(f = 10 \ {\rm kHz}) = 0$ gelten muss. Die einzig mögliche Signalform ist somit
- $$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$
Möglich sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3, je nachdem, ob das System $S_2$ die Frequenz $20 \ {\rm kHz}$ unterdrückt oder durchlässt.
