Aufgaben:Aufgabe 1.4: 2S/3E-Kanalmodell: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
}} | }} | ||
| − | [[Datei:P_ID83__Sto_A_1_4.png|right|frame|2S/3E-Kanalmodell]] | + | [[Datei:P_ID83__Sto_A_1_4.png|right|frame|$\rm 2S/3E$-Kanalmodell]] |
| − | Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ (Ereignis $S_{\rm L}$ | + | Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ $($Ereignis $S_{\rm L})$ und $\rm H$ $($Ereignis $S_{\rm H})$ ab. |
| − | *Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ (Ereignis $E_{\rm L}$ | + | *Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ $($Ereignis $E_{\rm L})$ oder $\rm H$ $($Ereignis $E_{\rm H})$. |
| − | *Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung (Ereignis $E_{\rm K}$; $\rm K$ steht | + | *Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung $($Ereignis $E_{\rm K})$; $\rm K$ steht hierbei für „Keine Entscheidung”). |
| + | |||
| + | |||
| + | Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich. | ||
| + | |||
| + | Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$. | ||
| − | |||
| − | |||
| Zeile 17: | Zeile 20: | ||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. |
| − | *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. | + | *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. |
| Zeile 25: | Zeile 28: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entscheidet? | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entscheidet? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $ { 0.21 3% } | ${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $ { 0.21 3% } | ||
| − | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm H$ entscheidet? | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm H$ entscheidet? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $ { 0.66 3% } | ${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $ { 0.66 3% } | ||
| Zeile 45: | Zeile 48: | ||
| − | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entschieden hat? | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entschieden hat? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $ { 1 3% } | ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $ { 1 3% } | ||
| − | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft? | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $ { 0.4614 3% } | ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $ { 0.4614 3% } | ||
Version vom 9. November 2019, 17:01 Uhr
$\rm 2S/3E$-Kanalmodell
Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ $($Ereignis $S_{\rm L})$ und $\rm H$ $($Ereignis $S_{\rm H})$ ab.
- Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ $($Ereignis $E_{\rm L})$ oder $\rm H$ $($Ereignis $E_{\rm H})$.
- Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung $($Ereignis $E_{\rm K})$; $\rm K$ steht hierbei für „Keine Entscheidung”).
Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich.
Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empfänger beim gegebenen Kanal für das Symbol $\rm L$ entscheiden.
Die Wahrscheinlichkeit für ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als für ein gesendetes. Daraus folgt:
- $${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
(2) Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt:
- $${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$
(3) Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt:
- $${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
(4) Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:
- $${\rm Pr} \text{(falsche Entscheidung)} = {\rm Pr} \big [(S_{\rm L} \cap E_{\rm H}) \cup (S_{\rm H} \cap E_{\rm L})\big ] = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
(5) Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt:
- $${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
(6) Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich zum Beispiel der Satz von Bayes:
- $${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$
