Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals Rayleigh–Fading?: Unterschied zwischen den Versionen

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- Der Betrag  $a(t)$  ist gaußverteilt.
 
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+ Der Betrag  $a(t)$  ist rayleighverteilt.
 
+ Der Betrag  $a(t)$  ist rayleighverteilt.
- Der Betrag  $a(t)$  ist positiv–exponentialverteilt.
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- Der Betrag  $a(t)$  ist einseitig–exponentialverteilt.
  
 
{Welchen Verlauf hat in beiden Fällen die WDF  $f_p(p)$  mit  $p(t) = |z(t)|^2$?
 
{Welchen Verlauf hat in beiden Fällen die WDF  $f_p(p)$  mit  $p(t) = |z(t)|^2$?
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- Der Betrag  $p(t)$  ist gaußverteilt.
 
- Der Betrag  $p(t)$  ist gaußverteilt.
 
- Der Betrag  $p(t)$  ist rayleighverteilt.
 
- Der Betrag  $p(t)$  ist rayleighverteilt.
+ Der Betrag  $p(t)$  ist positiv–exponentialverteilt.
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+ Der Betrag  $p(t)$  ist einseitig–exponentialverteilt.
  
 
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag  $a(t) = |z(t)|$  größer ist als ein vorgegebener Wert  $A$?
 
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag  $a(t) = |z(t)|$  größer ist als ein vorgegebener Wert  $A$?
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'''(1)'''&nbsp; <u>Richtig ist JA</u>:  
 
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*Man erkennt auch hier die Rotationssymmetrie, wenn man berücksichtigt, dass hier nur $N = 10\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte in der komplexen Ebene dargestellt wurden.  
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*Man erkennt auch hier die Rotationssymmetrie, wenn man berücksichtigt, dass hier nur&nbsp; $N = 10\hspace{0.05cm}000$&nbsp; Abtastwerte in der komplexen Ebene dargestellt wurden.  
 
*Außerdem hätten bei NEIN die nachfolgenden Fragen keinen Sinn.
 
*Außerdem hätten bei NEIN die nachfolgenden Fragen keinen Sinn.
  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Durch Vermessen der beiden eingezeichneten Kreise erkennt man, dass beim &bdquo;blauen&rdquo; Kanal die Streuungen von Real&ndash; und Imaginärteil um etwa den Faktor 1.4 (exakt: $\sqrt{2}$) größer sind als beim &bdquo;roten&rdquo; Kanal:
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'''(2)'''&nbsp; Durch Vermessen der beiden eingezeichneten Kreise erkennt man:
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*Beim &bdquo;blauen&rdquo; Kanal sind die Streuungen von Real&ndash; und Imaginärteil um etwa den Faktor 1.4&nbsp; $($exakt: $\sqrt{2})$&nbsp; größer als beim &bdquo;roten&rdquo; Kanal:
 
:$$\sigma_{\rm B} = \sigma_{\rm R} \cdot \sqrt{2} = 0.5 \cdot \sqrt{2}= {1}/{\sqrt{2}}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.707}
 
:$$\sigma_{\rm B} = \sigma_{\rm R} \cdot \sqrt{2} = 0.5 \cdot \sqrt{2}= {1}/{\sqrt{2}}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.707}
 
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'''(3)'''&nbsp; <u>Richtig ist NEIN</u>:  
 
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*In beiden Fällen beschreibt $f_{\it \phi}(\phi)$ eine Gleichverteilung zwischen $-\pi$ und $+\pi$.  
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*In beiden Fällen beschreibt&nbsp; $f_{\it \phi}(\phi)$&nbsp; eine Gleichverteilung zwischen&nbsp; $-\pi$&nbsp; und&nbsp; $+\pi$.  
*Die größeren Amplituden von Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; spielen für die Phasenfunktion $\phi(t)$ keine Rolle.
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*Die größeren Amplituden von Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; spielen für die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; keine Rolle.
  
  
  
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:  
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:  
*Bei Rayleigh&ndash;Fading sind Realteil $x(t)$ und Imaginärteil $y(t)$ jeweils gaußverteilt.  
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*Bei Rayleigh&ndash;Fading sind Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; und Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; jeweils gaußverteilt.  
*Die Exponentialverteilung ergibt sich für das Betragsquadrat $p(t) = |z(t)|^2$.
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*Die Exponentialverteilung ergibt sich für das Betragsquadrat&nbsp; $p(t) = |z(t)|^2$.
  
  
  
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 3</u>, wie bereits in der Musterlösung zu '''(4)''' begründet wurde.
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'''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 3</u>, wie bereits in der Musterlösung zu&nbsp; '''(4)'''&nbsp; begründet wurde.
  
  
  
'''(6)'''&nbsp; Der Betrag $a(t)$ ist rayleighverteilt. Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
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'''(6)'''&nbsp; Der Betrag&nbsp; $a(t)$&nbsp; ist rayleighverteilt.&nbsp; Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
 
:$${\rm Pr}(a > A) = \int_{A}^{\infty}\frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}a \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(a > A) = \int_{A}^{\infty}\frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}a \hspace{0.05cm}.$$
  
 
*In einigen Formelsammlungen findet man die Lösung für dieses Integral, aber nicht in allen.  
 
*In einigen Formelsammlungen findet man die Lösung für dieses Integral, aber nicht in allen.  
*Es gilt aber auch mit der einseitig&ndash;exponentialverteilten Zufallsgröße $p = a^2$:
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*Es gilt aber auch mit der einseitig&ndash;exponentialverteilten Zufallsgröße&nbsp; $p = a^2$:
 
:$${\rm Pr}(a > A) = {\rm Pr}(p > A^2) = \frac{1}{2\sigma^2} \cdot\int_{A^2}^{\infty}  {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(a > A) = {\rm Pr}(p > A^2) = \frac{1}{2\sigma^2} \cdot\int_{A^2}^{\infty}  {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm}.$$
  
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:$${\rm Pr}(a > A) =  {\rm e}^{ -{A^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$
 
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Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
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*In der oberen Grafik entspricht das der Anzahl aller Punkte, die außerhalb des eingezeichneten Kreises liegen, bezogen auf die Anzahl $N = 10.000$ aller Punkte.
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*In der oberen Grafik entspricht das der Anzahl aller Punkte, die außerhalb des eingezeichneten Kreises liegen, bezogen auf die Anzahl&nbsp; $N = 10\hspace{0.05cm}000$&nbsp; aller Punkte.
  
*Für den Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; gilt wegen der doppelten Varianz $\sigma^2 = 0.5$ dagegen ${\rm Pr}(|z(t)|>1) = {\rm e}^{\rm &ndash;1} \ \underline {\approx \ 0.368}$.  
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*Für den Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; gilt wegen der doppelten Varianz $\sigma^2 = 0.5$&nbsp; dagegen&nbsp; ${\rm Pr}(|z(t)|>1) = {\rm e}^{\rm &ndash;1} \ \underline {\approx \ 0.368}$.  
  
*Der (nicht eingezeichnete) Bezugskreis hätte auch auch in der unteren Grafik den Radius 1.  
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*Der (nicht eingezeichnete) Bezugskreis hätte auch auch in der unteren Grafik den Radius&nbsp; $1$.  
*Der im unteren Bild eingezeichnete Kreis hat einen größeren Radius als $A = 1$, nämlich $A = \sqrt{2}\approx 1.414$.
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*Der im unteren Bild eingezeichnete Kreis hat einen größeren Radius als&nbsp; $A = 1$, nämlich&nbsp; $A = \sqrt{2}\approx 1.414$.
 
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[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.2 WDF des Rayleigh-Fadings^]]
 
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Aktuelle Version vom 11. Mai 2020, 09:32 Uhr

Zwei Kanäle, gekennzeichnet durch komplexen Faktor $z(t)$

Dargestellt ist der multiplikative Faktor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  zweier Mobilfunkkanäle  $($beide ohne Mehrwegeausbreitung$)$  in 2D–Darstellung.  Als gesichert wird vorgegeben:

  • Der Kanal  $\rm R$  $($die Bezeichnung ergibt sich aus der Farbe „Rot” der Punktwolke$)$  ist rayleighverteilt mit  $\sigma_{\rm R} = 0.5$.
  • Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  von Betrag  $a(t) = |z(t)|$  bzw.  Betragsquadrat $p(t) = |z(t)|^2$  gelten somit die folgenden Gleichungen $($mit  $\sigma = \sigma_{\rm R})$:
$$f_a(a) = \left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a < 0 \\ \end{array} \hspace{0.05cm},$$
$$f_p(p) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2\sigma^2) \cdot {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p < 0 \\ \end{array} .$$
  • Vom Kanal  $\rm B$  $($„Blau”$)$  ist nur die Punktwolke gegeben.  Es ist abzuschätzen, ob hier ebenfalls  Rayleigh–Fading  vorliegt, und wenn  $\rm JA$, wie groß bei diesem Kanal die Kenngröße  $\sigma = \sigma_{\rm B}$  ist.
  • In der Teilaufgabe  (3)  wird schließlich auch auf die WDF  $f_{\it \phi}(\phi)$  der Phasenfunktion  $\phi(t)$  Bezug genommen.  Diese ist wie folgt definiert:
$$\phi(t) = \arctan \hspace{0.15cm} \frac{y(t)}{x(t)} \hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:


Fragebogen

1

Lässt sich auch der Kanal  $\rm B$  durch „Rayleigh” modellieren?

Ja.
Nein.

2

Schätzen Sie den Rayleigh–Parameter von Kanal  $\rm B$  ab.  Zur Erinnerung:   Bei Kanal  $\rm R$  hat dieser Parameter den Wert  $\sigma_{\rm R} = 0.5$.

$\sigma_{\rm B}\ = \ $

3

Unterscheiden sich die Phasen–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{\it \phi}(\phi)$ von Kanal  $\rm R$  und  $\rm B$ , und wenn  $\rm JA$, wie?

Ja.
Nein.

4

Welchen Verlauf hat in beiden Fällen die WDF  $f_a(a)$  mit  $a(t) = |z(t)|$?

Der Betrag  $a(t)$  ist gaußverteilt.
Der Betrag  $a(t)$  ist rayleighverteilt.
Der Betrag  $a(t)$  ist einseitig–exponentialverteilt.

5

Welchen Verlauf hat in beiden Fällen die WDF  $f_p(p)$  mit  $p(t) = |z(t)|^2$?

Der Betrag  $p(t)$  ist gaußverteilt.
Der Betrag  $p(t)$  ist rayleighverteilt.
Der Betrag  $p(t)$  ist einseitig–exponentialverteilt.

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag  $a(t) = |z(t)|$  größer ist als ein vorgegebener Wert  $A$?

Es gilt  ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm ln}(A/\sigma).$
Es gilt  ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A^2/2\sigma^2}.$
Es gilt  ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A/\sigma}.$

7

Berechnen Sie für beide Kanäle die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(|z(t)| > 1)$.

Kanal  $\rm R$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $

Kanal  $\rm B$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig ist JA:

  • Man erkennt auch hier die Rotationssymmetrie, wenn man berücksichtigt, dass hier nur  $N = 10\hspace{0.05cm}000$  Abtastwerte in der komplexen Ebene dargestellt wurden.
  • Außerdem hätten bei NEIN die nachfolgenden Fragen keinen Sinn.


(2)  Durch Vermessen der beiden eingezeichneten Kreise erkennt man:

  • Beim „blauen” Kanal sind die Streuungen von Real– und Imaginärteil um etwa den Faktor 1.4  $($exakt: $\sqrt{2})$  größer als beim „roten” Kanal:
$$\sigma_{\rm B} = \sigma_{\rm R} \cdot \sqrt{2} = 0.5 \cdot \sqrt{2}= {1}/{\sqrt{2}}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.707} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig ist NEIN:

  • In beiden Fällen beschreibt  $f_{\it \phi}(\phi)$  eine Gleichverteilung zwischen  $-\pi$  und  $+\pi$.
  • Die größeren Amplituden von Kanal  $\rm B$  spielen für die Phasenfunktion  $\phi(t)$  keine Rolle.


(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Bei Rayleigh–Fading sind Realteil  $x(t)$  und Imaginärteil  $y(t)$  jeweils gaußverteilt.
  • Die Exponentialverteilung ergibt sich für das Betragsquadrat  $p(t) = |z(t)|^2$.


(5)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 3, wie bereits in der Musterlösung zu  (4)  begründet wurde.


(6)  Der Betrag  $a(t)$  ist rayleighverteilt.  Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(a > A) = \int_{A}^{\infty}\frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}a \hspace{0.05cm}.$$
  • In einigen Formelsammlungen findet man die Lösung für dieses Integral, aber nicht in allen.
  • Es gilt aber auch mit der einseitig–exponentialverteilten Zufallsgröße  $p = a^2$:
$${\rm Pr}(a > A) = {\rm Pr}(p > A^2) = \frac{1}{2\sigma^2} \cdot\int_{A^2}^{\infty} {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm}.$$
  • Dieses Integral ist elementar und liefert das Ergebnis:
$${\rm Pr}(a > A) = {\rm e}^{ -{A^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist demnach der Lösungsvorschlag 2.


(7)  Für den Kanal  $\rm R$  gilt mit $\sigma = 0.5$:

$${\rm Pr}(|z(t)| > 1) = {\rm e}^{-2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.135} \hspace{0.05cm}.$$
  • In der oberen Grafik entspricht das der Anzahl aller Punkte, die außerhalb des eingezeichneten Kreises liegen, bezogen auf die Anzahl  $N = 10\hspace{0.05cm}000$  aller Punkte.
  • Für den Kanal  $\rm B$  gilt wegen der doppelten Varianz $\sigma^2 = 0.5$  dagegen  ${\rm Pr}(|z(t)|>1) = {\rm e}^{\rm –1} \ \underline {\approx \ 0.368}$.
  • Der (nicht eingezeichnete) Bezugskreis hätte auch auch in der unteren Grafik den Radius  $1$.
  • Der im unteren Bild eingezeichnete Kreis hat einen größeren Radius als  $A = 1$, nämlich  $A = \sqrt{2}\approx 1.414$.