Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung

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2D–Übertragungsfunktion, als Realteil und Imaginärteil

Zur Beschreibung eines zeitvarianten Kanals mit mehreren Pfaden verwendet man die  zweidimensionale Impulsantwort

$$h(\tau,\hspace{0.1cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)\hspace{0.05cm}.$$

Der erste Parameter  $(\tau)$  kennzeichnet die Verzögerungszeit, der zweite  $(t)$  macht Aussagen über die Zeitvarianz.

Durch die Fouriertransformation von  $h(\tau,\ t)$  kommt man schließlich zur  zeitvarianten Übertragungsfunktion

$$H(f,\hspace{0.1cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t) \hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist  $H(f,\ t)$  in Abhängigkeit der Frequenz dargestellt, und zwar für verschiedene Werte der absoluten Zeit  $t$  im Bereich von $0 \ \text{...} \ 10 \ \rm ms$.

Im Allgemeinen ist  $H(f,\ t)$  komplex.  Der Realteil (oben) und der Imaginärteil (unten) sind separat gezeichnet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels  Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
• In obiger Gleichung wird ein echofreier Kanal mit dem Paramter  $M = 1$  dargestellt.
• Hier noch einige Zahlenwerte der vorgegebenen zeitvarianten Übertragungsfunktion:

$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\, {\rm ms}) \approx 0.3 - {\rm j} \cdot 0.4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) \approx 0.0 - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm},$$

$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\, {\rm ms}) \approx 0.1 - {\rm j} \cdot 1.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 6\, {\rm ms}) \approx 0.5 - {\rm j} \cdot 0.8 \hspace{0.05cm},$$

$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 8\, {\rm ms}) \approx 0.9 - {\rm j} \cdot 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 10\, {\rm ms}) \approx 1.4 \hspace{0.05cm}.$$

• Wie schon aus obiger Grafik zu erahnen ist, sind weder der Realteil noch der Imaginärteil der 2D–Übertragungsfunktion  $H(f,\ t)$  mittelwertfrei.

Fragebogen

1

Liegt hier ein zeitvarianter Kanal vor?

	Ja.
	Nein.

2

Treten bei diesem Kanal Echos auf?

	Ja.
	Nein.

3

Wie kann hier die 2D–Impulsantwort beschrieben werden?

	$h(\tau,\ t) = A \cdot \delta(\tau) + B \cdot \delta(\tau \, –5 \, \rm µ s)$.
	$h(\tau,\ t) = A \cdot \delta(\tau)$.
	$h(\tau,\ t) = z(t) \cdot \delta(\tau)$.

4

Schätzen Sie, für welchen Kanal die Daten aufgenommen wurden.

	AWGN–Kanal,
	Zweiwege–Kanal,
	Rayleigh–Kanal,
	Rice–Kanal.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Wie aus der Grafik zu ersehen, ist die Übertragungsfunktion $H(f, t)$ abhängig von $t$. Damit ist auch $h(\tau, t)$ zeitabhängig. Richtig ist also JA.

(2)  Betrachtet man einen festen Zeitpunkt, zum Beispiel $t = 2 \ \rm ms$, so erhält man für die zeitvariante Übertragungsfunktion

$$H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm} = {\rm const.}$$

Damit lautet die dazugehörige 2D–Impulsantwort:

$$h(\tau,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3 \cdot \delta (\tau) \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} M = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Mit einem Pfad kann es aber nicht zu Mehrwegausbreitung kommen. Das heißt, die richtige Lösung ist NEIN.

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Es liegt hier zwar Zeitvarianz, aber keine Frequenzselektivität vor.
• Die Vorschläge 1 und 2 beschreiben dagegen zeitinvariante Systeme.

(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:

• Für den AWGN–Kanal kann keine Übertragungsfunktion angegeben werden.
• Bei einem Zweiwegekanal ist $H(f, t)$ zu keiner Zeit $t$ konstant.
• Da in der $H(f, t)$–Grafik in Real– und Imaginärteil jeweils ein Gleichanteil ungleich Null zu erkennen ist, kann auch der Rayleigh–Kanal ausgeschlossen werden.
• Die Daten für die vorliegende Aufgabe stammen von einem Rice–Kanal mit folgenden Parametern:

$$\sigma = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} x_0 = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}y_0 = -{1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm} max} = 100\,\,{\rm Hz}\hspace{0.05cm}.$$