Aufgaben:Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''  Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) ∗ h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm µ s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ \text{...} \ , \tau_M$ zusammensetzt.  
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'''(1)'''  Es gilt hier  $r(\tau) = s(\tau) ∗ h(\tau)$, wobei  $s(\tau)$  ein Rechteckimpuls der Dauer  $T = 5 \ \rm µ s$  bezeichnet und die Impulsantwort  $h(\tau)$  sich allgemein aus  $M$  gewichteten Diracfunktionen bei  $\tau_1,\ \tau_2, \ \text{...} \ ,\ \tau_M$  zusammensetzt.  
  
Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls
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Das skizzierte Ausgangssignal  $r(\tau)$  kann sich nur ergeben, falls
* $\tau_1 = 0$ ist (sonst würde $r(\tau)$ nicht bei $\tau = 0$ beginnen),
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* $\tau_1 = 0$  ist  $($sonst würde  $r(\tau)$  nicht bei  $\tau = 0$  beginnen$)$,
* $\tau_M = 10 \ \rm µ s$ ist (daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm µ s$ und $15 \ \rm µ s$),
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* $\tau_M = 10 \ \rm µ s$  ist  $($daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen  $10 \ \rm µ s$  und  $15 \ \rm µ s)$,
* dazwischen noch eine Diracfunktion bei $\tau_2 = 2 \ \rm µ s$ auftritt.
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* dazwischen noch eine Diracfunktion bei  $\tau_2 = 2 \ \rm µ s$  auftritt.
  
  
Das heißt:   Die Impulsantwort setzt sich hier aus $\underline {M = 3}$ Diracfunktionen zusammen.
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Das heißt:   Die Impulsantwort setzt sich hier aus  $\underline {M = 3}$  Diracfunktionen zusammen.
  
  
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'''(3)'''  Vergleicht man Eingang $s(\tau)$ und Ausgang $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:
 
* Intervall $0 < \tau < 2 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, \hspace{1cm} r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
 
* Intervall $2 \ {\rm &micro; s} < \tau < 5 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, \hspace{2.4cm} r(\tau) =(k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, &ndash;0.50}$,
 
* Intervall $10 \ {\rm &micro; s} < \tau < 15 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, \hspace{1.95cm} r(\tau) =k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.
 
  
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'''(3)'''&nbsp; Vergleicht man den Eingang&nbsp; $s(\tau)$&nbsp; und den Ausgang&nbsp; $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:
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* Intervall&nbsp; $0 < \tau < 2 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, \hspace{1cm} r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
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* Intervall&nbsp; $2 \ {\rm &micro; s} < \tau < 5 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, \hspace{2.4cm} r(\tau) =(k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, &ndash;0.50}$,
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* Intervall&nbsp; $10 \ {\rm &micro; s} < \tau < 15 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, \hspace{1.95cm} r(\tau) =k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.
  
  
'''(4)'''&nbsp; Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort $h(\tau)$:
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'''(4)'''&nbsp; Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$:
 
:$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) \hspace{0.3cm}
 
:$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_2}+  k_3 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_3}
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\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f \tau_2}+  k_3 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \tau_3}
 
  \hspace{0.05cm}. $$
 
  \hspace{0.05cm}. $$
  
 
Durch Analyse der einzelnen Beiträge kommt man zu folgendem Ergebnis:
 
Durch Analyse der einzelnen Beiträge kommt man zu folgendem Ergebnis:
* Der erste Anteil ist konstant &nbsp;&#8658;&nbsp; Periode $f_1 &#8594; &#8734;$.
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* Der erste Anteil ist konstant &nbsp; &#8658; &nbsp; Periode&nbsp; $f_1 &#8594; &#8734;$.
* Der zweite Anteil ist periodisch mit $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
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* Der zweite Anteil ist periodisch mit&nbsp; $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
* Der dritte Anteil ist periodisch mit $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.
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* Der dritte Anteil ist periodisch mit&nbsp; $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.
  
  
&#8658; &nbsp; Insgesamt ist damit $H(f)$ periodisch mit $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.
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&#8658; &nbsp; Insgesamt ist damit&nbsp; $H(f)$&nbsp; periodisch mit&nbsp; $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.
  
  
'''(5)'''&nbsp; Mit $A = 2\pi f \cdot \tau_2$ und $B = 2\pi f \cdot \tau_3$ erhält man:
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'''(5)'''&nbsp; Mit&nbsp; $A = 2\pi f \cdot \tau_2$&nbsp; und&nbsp; $B = 2\pi f \cdot \tau_3$&nbsp; erhält man:
 
:$$|H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} H(f) \cdot H^{\star}(f)=
 
:$$|H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} H(f) \cdot H^{\star}(f)=
 
  \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]  
 
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\frac {3}{16} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}B} + {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]- \frac {1}{8} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}(B-A)} + {\rm e}^{-{\rm j}(B-A)}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
 
\frac {3}{16} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}B} + {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]- \frac {1}{8} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}(B-A)} + {\rm e}^{-{\rm j}(B-A)}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
  
Daraus ergibt sich mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:
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*Daraus ergibt sich mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:
 
:$$|H(f)|= \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_2) +
 
:$$|H(f)|= \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_2) +
 
\frac {3}{8} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_3)- \frac {1}{4} \cdot \cos( 2 \pi f (\tau_3 - \tau_2))}$$
 
\frac {3}{8} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_3)- \frac {1}{4} \cdot \cos( 2 \pi f (\tau_3 - \tau_2))}$$
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'''(6)'''&nbsp; Der soeben berechnete Frequenzgang kann für die Frequenz $f = 250 \ \rm kHz$ wie folgt dargestellt werden:
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[[Datei:P_ID2162__Mob_A_2_3e.png|right|frame|Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal]]
 
[[Datei:P_ID2162__Mob_A_2_3e.png|right|frame|Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal]]
:$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \pi}+  k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot 5\pi} =  k_1 - k_2 - k_3
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:$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \pi}+  k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 5\pi} =  k_1 - k_2 - k_3
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
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Wählt man nun &nbsp;  
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*Wählt man nun &nbsp;  
 
:$$k_3 =  k_1 - k_2  = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm},$$  
 
:$$k_3 =  k_1 - k_2  = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm},$$  
so ergibt sich $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$ und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.
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:so ergibt sich&nbsp; $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$&nbsp; und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.
  
  
Die Grafik zeigt $|H(f)|$ im Bereich zwischen $0$ und $500 \ \rm kHz$:  
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Die Grafik zeigt&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; im Bereich zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $500 \ \rm kHz$:  
*Die blaue Kurve gilt für $k_3 = 0.25$ entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe '''(4)'''.
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*Die blaue Kurve gilt für&nbsp; $k_3 = 0.25$&nbsp; entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.
*Die rote Kurve gilt für $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert für $f = 250 \ \rm kHz$.
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*Die rote Kurve gilt für&nbsp; $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert bezüglich&nbsp; $f = 250 \ \rm kHz$.
  
 
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Aktuelle Version vom 18. Mai 2020, 11:21 Uhr

Vorgegebene Rechteckantwort

Wir betrachten einen Mehrwegekanal, der durch folgende Impulsantwort charakterisiert wird:

$$h(\tau, \hspace{0.05cm} t) = h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m) \hspace{0.05cm}.$$

Alle Koeffizienten  $k_{m}$  seien reell (positiv oder negativ).  Weiterhin ist anzumerken:

  • Aus der Angabe  $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) = h(\tau)$  erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
  • Allgemein weist der Kanal  $M$  Pfade auf.  Der  $M$–Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
  • Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen:  $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ \text{...}$


Die Grafik zeigt das Ausgangssignal  $r(\tau)$  des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt  (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):

$$s(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le \tau < 5\,{\rm µ s}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$

Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort  $h(\tau)$  sowie die Übertragungsfunktion  $H(f)$.





Hinweise:

  • Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
  • Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe  (1)  davon aus, dass sich die Impulsantwort  $h(\tau)$  über fünf Mikrosekunden erstreckt.



Fragebogen

1

Wie lautet die Impulsantwort  $h(\tau)$?  Wie viele Pfade  $(M)$  gibt es hier?

$M \ = \ $

2

Geben Sie die drei ersten Verzögerungszeiten  $\tau_m$  an.

$\tau_1 \ = \ $

$\ \rm µ s$
$\tau_2 \ = \ $

$\ \rm µ s$
$\tau_3 \ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Wie lauten die Gewichte der drei ersten Diracimpulse?

$k_1 \ = \ $

$k_2 \ = \ $

$k_3 \ = \ $

4

Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$.  Wie groß ist die Frequenzperiode  $f_0$?
Hinweis:   Bei ganzzahligem  $i$  muss  $H(f + i \cdot f_0) = H(f)$  gelten.

$f_0 \ = \ $

$\ \rm kHz$

5

Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang.  Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen  $f = 0$,  $f = 250 \ \rm kHz$  und  $f = 500 \ \rm kHz$?

$|H(f = 0)| \ = \ $

$|H(f = 250 \ \rm kHz)| \ = \ $

$|H(f = 500 \ \rm kHz)| \ = \ $

6

Was ist der ungünstigste Wert  $({\rm worst \ case})$  für  $k_3$  bezüglich der Frequenz  $f = 250 \ \rm kHz$?

$k_3 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Es gilt hier  $r(\tau) = s(\tau) ∗ h(\tau)$, wobei  $s(\tau)$  ein Rechteckimpuls der Dauer  $T = 5 \ \rm µ s$  bezeichnet und die Impulsantwort  $h(\tau)$  sich allgemein aus  $M$  gewichteten Diracfunktionen bei  $\tau_1,\ \tau_2, \ \text{...} \ ,\ \tau_M$  zusammensetzt.

Das skizzierte Ausgangssignal  $r(\tau)$  kann sich nur ergeben, falls

  • $\tau_1 = 0$  ist  $($sonst würde  $r(\tau)$  nicht bei  $\tau = 0$  beginnen$)$,
  • $\tau_M = 10 \ \rm µ s$  ist  $($daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen  $10 \ \rm µ s$  und  $15 \ \rm µ s)$,
  • dazwischen noch eine Diracfunktion bei  $\tau_2 = 2 \ \rm µ s$  auftritt.


Das heißt:   Die Impulsantwort setzt sich hier aus  $\underline {M = 3}$  Diracfunktionen zusammen.


(2)  Wie bereits bei der ersten Teilaufgabe berechnet, erhält man

$$\tau_1 \hspace{0.1cm} \underline {= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 2\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_3 \hspace{0.1cm} \underline {= 10\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Vergleicht man den Eingang  $s(\tau)$  und den Ausgang  $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:

  • Intervall  $0 < \tau < 2 \ {\rm µ s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, \hspace{1cm} r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
  • Intervall  $2 \ {\rm µ s} < \tau < 5 \ {\rm µ s} \text{:} \, \hspace{2.4cm} r(\tau) =(k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, –0.50}$,
  • Intervall  $10 \ {\rm µ s} < \tau < 15 \ {\rm µ s} \text{:} \, \hspace{1.95cm} r(\tau) =k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.


(4)  Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort  $h(\tau)$:

$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f \tau_2}+ k_3 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \tau_3} \hspace{0.05cm}. $$

Durch Analyse der einzelnen Beiträge kommt man zu folgendem Ergebnis:

  • Der erste Anteil ist konstant   ⇒   Periode  $f_1 → ∞$.
  • Der zweite Anteil ist periodisch mit  $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
  • Der dritte Anteil ist periodisch mit  $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.


⇒   Insgesamt ist damit  $H(f)$  periodisch mit  $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.


(5)  Mit  $A = 2\pi f \cdot \tau_2$  und  $B = 2\pi f \cdot \tau_3$  erhält man:

$$|H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} H(f) \cdot H^{\star}(f)= \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ] \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{{\rm j}B}\right ]$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {9}{16 }- \frac {3 {\rm e}^{{\rm j}A}}{8} +\frac {3{\rm e}^{{\rm j}B}}{16} - \frac {3{\rm e}^{-{\rm j}A}}{8} +\frac {1}{4}- \frac {{\rm e}^{{\rm j}(B-A)}}{8} +\frac {3{\rm e}^{-{\rm j}B}}{16} - \frac {{\rm e}^{{\rm j}(A-B)}}{8} +\frac{1}{16 }=$$
$$\hspace{2.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac {7}{8 }- \frac {3}{8} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}A} + {\rm e}^{-{\rm j}A}\right ]+ \frac {3}{16} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}B} + {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]- \frac {1}{8} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}(B-A)} + {\rm e}^{-{\rm j}(B-A)}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus ergibt sich mit dem  Satz von Euler  unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:
$$|H(f)|= \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_2) + \frac {3}{8} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_3)- \frac {1}{4} \cdot \cos( 2 \pi f (\tau_3 - \tau_2))}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H(f = 0)|\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} + \frac {3}{8} - \frac {1}{4} } = \sqrt{0.25}\hspace{0.1cm} \underline {= 0.5} = |H(f = 500\,{\rm kHz})|$$
$$|H(f = 250\,{\rm kHz})|\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( \pi ) + \frac {3}{8} \cdot \cos( 5 \pi )- \frac {1}{4} \cdot \cos( 4 \pi )} \hspace{0.1cm} \underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Der soeben berechnete Frequenzgang kann für die Frequenz  $f = 250 \ \rm kHz$  wie folgt dargestellt werden:

Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal
$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \pi}+ k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 5\pi} = k_1 - k_2 - k_3 \hspace{0.05cm}.$$
  • Wählt man nun  
$$k_3 = k_1 - k_2 = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm},$$
so ergibt sich  $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$  und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.


Die Grafik zeigt  $|H(f)|$  im Bereich zwischen  $0$  und  $500 \ \rm kHz$:

  • Die blaue Kurve gilt für  $k_3 = 0.25$  entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe  (4).
  • Die rote Kurve gilt für  $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert bezüglich  $f = 250 \ \rm kHz$.