Aufgaben:Aufgabe 3.2: Vom Spektrum zum Signal: Unterschied zwischen den Versionen
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− | *Beim imaginären Signalanteil ⇒ $x_{\rm I}(t)$ ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner). | + | *Beim imaginären Signalanteil ⇒ $x_{\rm I}(t)$ ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner). |
*Somit ist das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ gleich Null. | *Somit ist das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ gleich Null. | ||
− | *Demgegenüber liefert beim reellen Anteil $x_{\rm R}(t)$ ⇒ gerader Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert. | + | *Demgegenüber liefert beim reellen Anteil $x_{\rm R}(t)$ ⇒ gerader Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert. |
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− | '''(3)''' Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = +2\,\text{V}$. | + | '''(3)''' Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = +2\,\text{V}$. |
− | *Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann: | + | *Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann: |
:$$x( {t = 0} ) = {1}/{2}\cdot ( x_{+} + x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$ | :$$x( {t = 0} ) = {1}/{2}\cdot ( x_{+} + x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$ | ||
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Hier noch ein zweiter Lösungsweg: | Hier noch ein zweiter Lösungsweg: | ||
− | *Der rechtsseitige Grenzwert für $f → 0$ ist $X_+ = -\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$. | + | *Der rechtsseitige Grenzwert für $f → 0$ ist $X_+ = -\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$. |
*Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang: | *Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang: | ||
Aktuelle Version vom 21. April 2021, 15:15 Uhr
Gegeben sei die Spektralfunktion
- $$X(f) = \frac{{2\,{\rm V}}}{ { {\rm j}\pi f}}.$$
Die zugehörige Zeitfunktion $x(t)$ kann mit Hilfe des zweiten Fourierintegrals ermittelt werden:
- $$x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(f)} \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d} f = x_{\rm R} (t) + {\rm j} \cdot x_{\rm I} (t),$$
wobei für den Realteil bzw. den Imaginärteil gilt:
- $$x_{\rm R} (t) = 2\,{\rm V} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin ( {2\pi ft} )}}{ {\pi f}}}\hspace{0.1cm} {\rm d}f, $$
- $$x_{\rm I} (t) = -2\, {\rm V} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{ {\cos ( {2\pi ft} )}}{ {\pi f}}} \hspace{0.1cm}{\rm d}f.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fouriertransformation und –rücktransformation.
- Benutzen Sie zur Lösung eventuell die nachfolgenden Angaben:
- $$x( {t = 0}) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f )}\hspace{0.1cm} {\rm d}f,\hspace{0.5cm} X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)}\hspace{0.1cm} {\rm d}t ,\hspace{0.5cm}\int_0^\infty {\frac{{\sin ( {ax} )}}{x}}\hspace{0.1cm} {\rm d}x = {\rm sign} ( a ) \cdot{\pi }/{2}. $$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2 ⇒ $x(t)$ ist rein reell:
- Beim imaginären Signalanteil ⇒ $x_{\rm I}(t)$ ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner).
- Somit ist das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ gleich Null.
- Demgegenüber liefert beim reellen Anteil $x_{\rm R}(t)$ ⇒ gerader Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert.
(2) Mit der Abkürzung $a = 2\pi t$ kann für das Zeitsignal geschrieben werden:
- $$x(t) = x_{\rm R} \left( t \right) = \frac{{4\,{\rm V}}}{\pi }\int_0^\infty {\frac{{\sin( {af} )}}{f}}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$
Dies führt unter Verwendung des angegebenen bestimmten Integrals zum Ergebnis:
- $$x(t) = \frac{{4\,{\rm V}}}{\pi } \cdot \frac{\pi }{2} \cdot {\mathop{\rm sign}\nolimits} ( t ) = 2\;{\rm V} \cdot {\mathop{\rm sign}\nolimits} ( t ).$$
- Für $t > 0$ ist $x(t) = +2\,\text{V}$ .
- Entsprechend gilt $x(t) = -\hspace{-0.1cm}2\,\text{V}$ für $t < 0$.
- Das Signal $x(t)$ beschreibt also eine Sprungfunktion von $-\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$ auf $+2\,\text{V}$.
(3) Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = +2\,\text{V}$.
- Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann:
- $$x( {t = 0} ) = {1}/{2}\cdot ( x_{+} + x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
- Zum gleichen Ergebnis kommt man bei Berücksichtigung der Beziehung
- $$x( t = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 0.$$
(4) Der Spektralwert bei $f = 0$ ist gleich dem Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ über die Zeitfunktion $x(t)$:
- $$X( f = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)}\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
Hier noch ein zweiter Lösungsweg:
- Der rechtsseitige Grenzwert für $f → 0$ ist $X_+ = -\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$.
- Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang:
- $$X( {f = 0}) = {1}/{2}\cdot \left( {X_{ +} + X_{-} } \right) = 0.$$