Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: si-Quadrat-Spektrum mit Diracs

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$\rm si^2$–Spektrum mit Diracs

Das skizzierte Spektrum  ${X(f)}$  eines Zeitsignals  ${x(t)}$  setzt sich zusammen aus

• einem kontinuierlichen Anteil  $X_1(f)$,

• dazu drei diracförmigen Spektrallinien.

Der kontinuierliche Anteil lautet mit  $f_0 = 200\, \text{kHz}$  und  $X_0 = 10^{–5} \text{ V/Hz}$:

$$X_1( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$

Die Spektrallinie bei  $f = 0$  hat das Gewicht  $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$.  Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen  $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht  $0.5\,\text{V}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Fouriertransformation und –rücktransformation.
• Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo  Kontinuierliche und diskrete Spektren.

• Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um  $t = 0$  symmetrischer Dreieckimpuls  $y(t)$  mit der Amplitude  ${A}$  und der absoluten Dauer  $2T$  $($das heißt:  die Signalwerte sind nur zwischen  $–T$  und  $+T$  ungleich $0)$  folgende Spektralfunktion besitzt:

$$Y( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$

Fragebogen

1

Welche Werte besitzen die Parameter  ${A}$  (Amplitude) und  ${T}$  (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils  $x_1(t)$?

$A\ = \ $  $\text{V}$

$T\ = \ $  $\text{$µ$s}$

2

Wie groß ist der Gleichsignalanteil  ${B}$  des Signals?

$B\ = \ $  $\text{V}$

3

Wie groß ist die Amplitude  $C$  des periodischen Anteils von  $x(t)$?

$C\ = \ $  $\text{V}$

4

Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals  $x(t)$?

$x_\text{max}\ = \ $  $\text{V}$

$x_\text{min}\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{V}$

Musterlösung

Musterlösung

Fläche des Dreieckimpulses

(1)  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt  $T = 1/f_0\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \,{\rm µ s}}$.

• Der Spektralwert  $X_0 = X_1(f = 0)$  gibt die Impulsfläche von  $x_1(t)$  an.
• Diese ist gleich  ${A} \cdot {T}$.  Daraus folgt:

$$A = \frac{X_0 }{T} = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$

(2)  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei  $f = 0$  gegeben.  Man erhält  ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= -1 \,\text{V}}$.

(3)  Die beiden Spektrallinien bei  $\pm f_0$  ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude  ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.

(4)  Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt  ${t} = 0$  auf  (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal):

$$x_{\text{max}} = A + B + C \hspace{0.15 cm}\underline{= +2 \text{V}}.$$

• Die minimalen Werte von  ${x(t)}$  ergeben sich dann, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert  $–\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}$  liefert:

$$x_\text{min} = {B} - {C}\hspace{0.15 cm}\underline{ = -2\, \text{V}}.$$