Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5)

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Addition/Multiplikation für  $\{\rm a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$

Wie in der  "Aufgabe 2.2"  betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung  $q = 5$  und damit das Galoisfeld

$$\rm GF(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$

Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen.  Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematischen Ausdrücke.

Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch

• eine Additionstabelle modulo 5,

• eine Multiplikationstabelle modulo 5.

Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der  ersten Theorieseite  zusammengestellt. Hier wird Bezug genommen auf

• das Kommutativ– und das Distributivgesetz,

• die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,

• die inversen Elemente von Addition und Multiplikation, sowie

• die Bestimmung primitiver Elemente.

Im vorliegenden Beispiel wäre  $\beta$  ein primitives Element,  wenn  $\beta^2, \ \beta^3$  und  $\beta^4$  $($allgemein:  $\beta^{q-1})$  die übrigen Elemente des Galoisfeldes  $\rm GF(5)$  mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.

Hinweis:  Die Aufgabe bezieht ich auf das Kapitel  "Einige Grundlagen der Algebra".

Fragebogen

1

Bestimmen Sie das neutrale Element der Addition.

	$N_{\rm A} = \rm a$,
	$N_{\rm A} = \rm b$,
	$N_{\rm A} = \rm c$,
	$N_{\rm A} = \rm d$,
	$N_{\rm A} = \rm e$.

2

Bestimmen Sie das neutrale Element der Multiplikation.

	$N_{\rm M} = \rm a$,
	$N_{\rm M} = \rm b$,
	$N_{\rm M} = \rm c$,
	$N_{\rm M} = \rm d$,
	$N_{\rm M} = \rm e$.

3

Ist das Kommutativgesetz erfüllt,

	hinsichtlich Addition,  zum Beispiel  $\rm a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,
	hinsichtlich Multiplikation,  zum Beispiel  $\rm a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.

4

Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?

	$\rm a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$,
	$\rm d \cdot (b + c) = d \cdot b + d \cdot c$,
	$\rm e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$.

5

Ersetzen Sie  $\rm a, \ b, \ c, \ d, \ e$  durch Elemente der Zahlenmenge  $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$,  so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.

$\rm a \hspace{0.15cm} = \ $

$\rm b \hspace{0.15cm} = \ $

$\rm c \hspace{0.15cm} = \ $

$d \hspace{0.15cm} = \ $

$e \hspace{0.15cm} = \ $

6

Welche Aussagen gelten hinsichtlich der inversen Elemente?

	Für alle  $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  gibt es eine additive Inverse.
	Nur für  $z_i ∈ \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  gibt es eine additive Inverse.
	Für alle  $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  gibt es eine multiplikative Inverse.
	Nur für  $z_i ∈ \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  gibt es eine multiplikative Inverse.

7

Welche der Elemente sind primitiv?

	$\rm a = 3$.
	$\rm b = 2$,
	$\rm e = 4$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Das neutrale Element hinsichtlich Addition  $($genannt  $N_{\rm A})$  muss für alle Elemente  $z_i (i = 0, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ q-1)$  die folgende Gleichung erfüllen:

$$z_i + N_{\rm A} = N_{\rm A} + z_i = z_i\hspace{0.05cm}.$$

• Aus der Additionstabelle folgt  $N_{\rm A} \ \underline{= \rm d}$.

(2)  Dagegen erfüllt das neutrale Element der Multiplikation  $(N_{\rm M})$  für alle Elemente  $z_i (i = 1,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ q-1)$  die folgende Bedingung:

$$z_i \cdot N_{\rm M} = N_{\rm M}\cdot z_i = z_i\hspace{0.05cm}.$$

• Aus der Multiplikationstabelle erkennt man  $N_{\rm M} \ \underline{= \rm c}$.

(3)  Das Kommutativgesetz ist bei diesem Galoisfeld in  beiden Fällen  (Addition und Multiplikation)  erfüllt,
        da Additionstabelle und Multiplikationstabelle jeweils symmetrisch zur Tabellendiagonalen sind.

(4)  Betrachten wir zunächst den ersten Ausdruck. 

• Bei Gültigkeit des Distributivgesetzes muss gelten:

$$\rm a \cdot (b+c) = a \cdot b+ a \cdot c \hspace{0.05cm}.$$

• Für die linke Seite erhält man:

$$\rm a \cdot (b+c) = a \cdot a =e \hspace{0.05cm},$$

und für die rechte Seite:

$$\rm a \cdot b+ a \cdot c = c + a = e\hspace{0.05cm}.$$

• Das Distributivgesetz ist hier ebenso erfüllt wie auch bei den beiden anderen vorgegebenen Ausdrücken:

$$\rm d \cdot (b+c) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot a =d \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}d \cdot b+ d \cdot c = d + d = d\hspace{0.05cm},$$

$$\rm e \cdot (a+c) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} e \cdot e =c \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e \cdot a+ e \cdot c = b + e = c\hspace{0.05cm}.$$

Alle Lösungsvorschläge  treffen zu.

Umgewandelte Operationstabellen

(5)  Das Nullelement   $N_{\rm A} = \rm d$   wird zu   $N_{\rm A} = 0 \ \Rightarrow \ d = 0$,  das Einselelement   $N_{\rm M} = c$   zu  $N_{\rm M} = 1 \ \Rightarrow \ \rm c = 1$.

• Die weiteren Elemente  $\rm a, \ b$  und  $\rm e$  können modulo  $5$  aus der Additionstabelle oder der Multiplikationstabelle bestimmt werden.

• Zum Beispiel folgt aus der ersten Zeile der Additionstabelle

$$\rm (a + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = d = 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Da sowohl  $\rm a$  als auch  $\rm b$  nicht  $0$  oder  $1$  sein können  (da diese bereits für  $\rm c$  und  $\rm d$  vergeben sind),  ergibt sich als Folgerung:

$$\rm a = 2, \hspace{0.3cm} b = 3 \hspace{0.5cm}{\rm oder}\hspace{0.5cm} a = 3, \hspace{0.3cm} b = 2\hspace{0.05cm}.$$

• Aus der zweiten Zeile der Additionstabelle folgt beispielsweise:

$$\rm (b + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = e \hspace{0.05cm}.$$

• Aus  $\rm b = 3$  ergäbe sich  $\rm e = 1$.  Dies ist aber wiederum nicht möglich,  da bereits  $\rm c = 1$  festgelegt wurde.

• Also erhält man als Endergebnis:

$$\rm a \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}b \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} c \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}d \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm}.$$

• Die Grafik zeigt die Additions– und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge.

(6)  Zutreffend sind die  Aussagen 1 und 4:

• Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein  "$\rm d = 0$".  Das heißt:  

• Für alle  $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  existiert eine eindeutige additive Inverse.

• Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag  $\rm c = 1$.  Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:

$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \rm b = 2 \hspace{0.05cm},$$

$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \rm a=3 \hspace{0.05cm},$$

$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 3\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(c=1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \rm c=1 \hspace{0.05cm},$$

$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 5\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(e=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \rm e=4 \hspace{0.05cm}.$$

• Für das Nullelement  $\rm d = 0$  existiert dagegen keine multiplikative Inverse.

(7)  Bezüglich der primitiven Elemente erhält man

$$\rm a \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^2 = 9 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^3 = 27 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^4 = 81 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$

$$b \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^2 = 4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^3 = 8 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^4 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$

$$e \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^2 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^3 = \hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}= 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^4 =\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm} = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm nicht\hspace{0.15cm} primitiv}\hspace{0.05cm}.$$

• Von der Menge  $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  sind  „$2$”  und  „$3$”  primitive Elemente   ⇒   Lösungsvorschläge 1 und 2.