Aufgaben:Aufgabe 4.5: Ortskurve bei ZSB-AM: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in Aufgabe A4.4: | Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in Aufgabe A4.4: | ||
| − | sinusförmiges Nachrichtensignal, Amplitude | + | sinusförmiges Nachrichtensignal, Amplitude $A_N$ = 2 V, Frequenz $f_N$ = 10 kHz, |
| − | ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger; mit | + | ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger; mit $f_T$ = 50 kHz (Trägerfrequenz). |
| − | Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion | + | Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion $S_+(f)$ des analytischen Signals. Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form |
$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \phi(t)} $$ | $$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \phi(t)} $$ | ||
| − | dargestellt werden kann, wobei a(t) ≥ 0 gelten soll. Für | + | dargestellt werden kann, wobei $a(t)$ ≥ 0 gelten soll. Für $\Phi (t)$ ist der Wertebereich $– \pi < \Phi(t) \geq +\pi$ zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung: |
$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm | $$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm | ||
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| − | {Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal | + | {Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{TP}(t)$ im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt $s_{TP}(t)$ zum Startzeitpunkt $t$ = 0? |
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$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0 \mu \text{s})] =$ { 1 } V | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0 \mu \text{s})] =$ { 1 } V | ||
$\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 \mu \text{s})] =$ { 0 } V | $\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 \mu \text{s})] =$ { 0 } V | ||
| − | {Welche Werte weist | + | {Welche Werte weist $s_{TP}(t)$ zu den Zeitpunkten $t = $T_0/10$, $T_0/4$, $3T_0/4$ und $T_0$ = 100 μs auf? Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind. |
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$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \mu \text{s})] =$ { 2.176 3% } V | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \mu \text{s})] =$ { 2.176 3% } V | ||
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$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \mu \text{s})] =$ { 1 } V | $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \mu \text{s})] =$ { 1 } V | ||
| − | {Wie lautet die Betragsfunktion a(t)? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten t = 25 μs und t = 75 μs? | + | {Wie lautet die Betragsfunktion $a(t)$? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t$ = 25 μs und $t$ = 75 μs? |
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$a(t=25 \mu \text{s}) =$ { 3 } V | $a(t=25 \mu \text{s}) =$ { 3 } V | ||
$a(t=25 \mu \text{s}) =$ { 1 } V | $a(t=25 \mu \text{s}) =$ { 1 } V | ||
| − | {Geben Sie die Phasenfunktion | + | {Geben Sie die Phasenfunktion $\Phi(t)$ allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t$ = 25 μs und $t$ = 75 μs? |
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$\phi(t=25 \mu \text{s}) =$ { 0 } Grad | $\phi(t=25 \mu \text{s}) =$ { 0 } Grad | ||
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| − | '''1.''' | + | '''1.''' Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um $f_T$ = 50 kHz nach links, so liegen diese bei –10 kHz, 0 und +10 kHz. Die Gleichung $s_{TP}(t)$ lautet mit $\omega_10$ = 2 $π\pi \cdot$ 10 kHz: |
$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 | $$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 | ||
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| − | + | '''2.''' Obige Gleichung kann man nach dem Satz von Euler mit $T_0 = 1/f_N = 100$ Mikrosekunden wie folgt umformen: | |
$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm | $$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm | ||
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\frac{t}{T_0}) .$$ | \frac{t}{T_0}) .$$ | ||
| − | Damit ist gezeigt, dass | + | Damit ist gezeigt, dass s_{TP}(t)$ für alle Zeiten $t$ reell ist. Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man: |
$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1 | $$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1 | ||
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| − | + | '''3.''' Definitionsgemäß gilt $a(t) = |s_{TP}(t)|$. Damit erhält man folgende Zahlenwerte: | |
$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25 | $$a(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25 | ||
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\hspace{0.05cm} \mu s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}} .$$ | \hspace{0.05cm} \mu s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}} .$$ | ||
| − | + | '''4.''' Aufgrund der Tatsache, dass für alle Zeiten Im[ $s_{TP}(t)$ ] = 0 ist, erhält man aus der Beziehung | |
$$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan} | $$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan} | ||
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Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$ | Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$ | ||
| − | das Ergebnis | + | das Ergebnis $\Phi(t)$ = 0, falls Re[ $s_{TP}(t)$ ] positiv ist, und $\Phi(t) = \pi$ bei negativem Realteil. |
| − | Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: 0 | + | Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: $0 \geq t \geq T_0$. Im Bereich zwischen $t_1$ und $t_2$ liegt eine Phase von 180° vor, ansonsten gilt $\text{Re}[s_{TP}(t)] \leq 0$. Zur Berechung von $t_1$ kann das Ergebnis aus 2) herangezogen werden: |
$$\sin(2 \pi \cdot \frac{t_1}{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow | $$\sin(2 \pi \cdot \frac{t_1}{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow | ||
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| − | Daraus erhält man | + | Daraus erhält man $t_1$ = 7/12 · $T_0$ = 58.33 μs. Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis $t_2$ = 11/12 · $T_0$ = 91.67 μs. |
| − | Die gesuchten Werte sind somit | + | Die gesuchten Werte sind somit $\Phi(t =$ 25 μs) = 0 und $\Phi(t = $75 μs) = 180° (= $\pi$). |
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]] | [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]] | ||
Version vom 20. April 2016, 13:09 Uhr
Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in Aufgabe A4.4: sinusförmiges Nachrichtensignal, Amplitude $A_N$ = 2 V, Frequenz $f_N$ = 10 kHz, ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger; mit $f_T$ = 50 kHz (Trägerfrequenz). Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion $S_+(f)$ des analytischen Signals. Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form
$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \phi(t)} $$
dargestellt werden kann, wobei $a(t)$ ≥ 0 gelten soll. Für $\Phi (t)$ ist der Wertebereich $– \pi < \Phi(t) \geq +\pi$ zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}.$$
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3. Sie können Ihre Lösung mit dem folgenden Interaktionsmodul überprüfen: Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals
Fragebogen
Musterlösung
1. Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um $f_T$ = 50 kHz nach links, so liegen diese bei –10 kHz, 0 und +10 kHz. Die Gleichung $s_{TP}(t)$ lautet mit $\omega_10$ = 2 $π\pi \cdot$ 10 kHz:
$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}.$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 0} .$$
2. Obige Gleichung kann man nach dem Satz von Euler mit $T_0 = 1/f_N = 100$ Mikrosekunden wie folgt umformen:
$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t })\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm} \sin({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) = 1+2 \cdot \sin(2 \pi \frac{t}{T_0}) .$$
Damit ist gezeigt, dass s_{TP}(t)$ für alle Zeiten $t$ reell ist. Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man: '"`UNIQ-MathJax31-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax32-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax33-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax34-QINU`"' '''3.''' Definitionsgemäß gilt $a(t) = |s_{TP}(t)|$. Damit erhält man folgende Zahlenwerte: '"`UNIQ-MathJax35-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax36-QINU`"' '''4.''' Aufgrund der Tatsache, dass für alle Zeiten Im[ $s_{TP}(t)$ ] = 0 ist, erhält man aus der Beziehung '"`UNIQ-MathJax37-QINU`"' das Ergebnis $\Phi(t)$ = 0, falls Re[ $s_{TP}(t)$ ] positiv ist, und $\Phi(t) = \pi$ bei negativem Realteil. Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: $0 \geq t \geq T_0$. Im Bereich zwischen $t_1$ und $t_2$ liegt eine Phase von 180° vor, ansonsten gilt $\text{Re}[s_{TP}(t)] \leq 0$. Zur Berechung von $t_1$ kann das Ergebnis aus 2) herangezogen werden: '"`UNIQ-MathJax38-QINU`"' Daraus erhält man $t_1$ = 7/12 · $T_0$ = 58.33 μs. Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis $t_2$ = 11/12 · $T_0$ = 91.67 μs. Die gesuchten Werte sind somit $\Phi(t =$ 25 μs) = 0 und $\Phi(t = $75 μs) = 180° (= $\pi$). {{ML-Fuß}
