Stochastische Signaltheorie/Momente einer diskreten Zufallsgröße: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 25. Mai 2016, 22:38 Uhr
Berechnung als Schar- bzw. Zeitmittelwert
Die Wahrscheinlichkeiten bzw. die relativen Häufigkeiten liefern weitreichende Informationen über eine diskrete Zufallsgröße. Reduzierte Informationen erhält man durch die so genannten Momente $m_k$, wobei $k$ eine natürliche Zahl darstellt.
Unter der hier stillschweigend vorausgesetzten Ergodizität gibt es für das Moment $k$-ter Ordnung zwei unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten:
- die Scharmittelung bzw. Erwartungswertbildung (Mittelung über alle möglichen Werte):
$$m_k = \rm E \it [z^k] = \sum_{\mu = \rm 1}^{\it M}p_\mu \cdot z_\mu^k \hspace{2cm} \rm mit \hspace{0.1cm} {\rm E[...]:} \hspace{0.1cm} \rm Erwartungswert ,$$
- die Zeitmittelung über die Zufallsfolge 〈 $z_ν$〉 mit der Laufvariablen $ν =$ 1 , ... , $N$:
$$m_k=\overline{z_\nu^k}=\hspace{0.01cm}\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^k\hspace{1.7cm}\rm mit\hspace{0.1cm}\ddot{u}berstreichender\hspace{0.1cm}Linie:\hspace{0.1cm}Zeitmittelwert.$$
Beide Berechnungsarten führen für genügend große Werte von $N$ zum gleichen asymptotischen Ergebnis. Bei endlichem $N$ ergibt sich ein vergleichbarer Fehler, als wenn die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit angenähert wird.
Linearer Mittelwert - Gleichanteil
Mit $k =$ 1 erhält man aus der allgemeinen Gleichung für die Momente den linearen Mittelwert: $$m_1 =\sum_{\mu=1}^{M}p_\mu\cdot z_\mu =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{\nu=1}^{N}z_\nu.$$ Der linke Teil dieser Gleichung beschreibt die Scharmittelung (über alle möglichen Werte), während die rechte Gleichung die Bestimmung als Zeitmittelwert angibt. In Zusammenhang mit Signalen wird diese Größe auch als der Gleichanteil bezeichnet.
Ein Binärsignal mit den beiden Amplitudenwerten 1V (für das Symbol L) und 3V (für das Symbol H) sowie den Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_{\rm L} =$ 0.2 bzw. $p_{\rm H} =$ 0.8 besitzt den linearen Mittelwert $$m_1 = 0.2 \cdot 1\,{\rm V}+ 0.8 \cdot 3\,{\rm V}= 2.6 \,{\rm V}. $$ Dieser Gleichanteil ist in der Grafik als rote Linie eingezeichnet.
Bestimmt man diese Kenngröße durch Zeitmittelung über die dargestellten $N =$ 12 Signalwerte, so wird man einen etwas kleineren Wert erhalten: $$m_1' = 1/3 \cdot 1\,{\rm V}+ 2/3 \cdot 3\,{\rm V}= 2.33 \,{\rm V}. $$ Hier wurden die Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_{\rm L} =$ 0.2 bzw. $p_{\rm H} =$ 0.8 durch die entsprechenden Häufigkeiten $h_{\rm L} =$ 4/12 und $h_{\rm H} =$ 8/12 ersetzt. Der relative Fehler aufgrund der unzureichenden Folgenlänge $N$ ist im Beispiel größer als 10%.
Quadratischer Mittelwert – Varianz – Streuung
Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit $k =$ 2 für den quadratischen Mittelwert:
