Aufgaben:Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung

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In Aufgabe A1.1 und Aufgabe Z1.1 im Kapitel 1.1 wurden die sog. RC–Tiefpässe im Frequenzbereich beschrieben. Hier soll nun eine Zeitbereichsdarstellung erfolgen.

Die oben skizzierte Schaltung mit dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $y_1(t)$ ist ein Tiefpass erster Ordnung mit dem Frequenzgang $$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0}}.$$

Hierbei gibt $f_0 = 1/(2πRC)$ die 3dB–Grenzfrequenz an. Legt man am Eingang ein diracförmiges Signal $x(t) = δ(t)$ an, so erscheint am Ausgang das Signal $y_1(t)$ gemäß der mittleren Skizze.

Der Zusammenhang zwischen den Systemparametern $R, C$ und $T$ lautet (siehe auch Aufgabe Z1.3): $$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R C.$$ Für numerische Berechnungen soll im Folgenden $T =$ 1 ms verwendet werden.

Die untere Schaltung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y_2(t)$ zeigt einen Tiefpass zweiter Ordnung: $$H_{\rm 2}(f) = [H_{\rm 1}(f)]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$ Die zu $H_2(f)$ gehörende Impulsantwort ist $h_2(t)$.

Anzumerken ist, dass der Systemparameter $f_0$ bei einem Tiefpass zweiter oder höherer Ordnung nicht mehr dessen 3 dB–Grenzfrequenz angibt. Weiterhin ist noch zu beachten, dass die beiden RC-Glieder entkoppelt werden müssen, um Widerstandsanpassung zu erreichen. Hierzu eignet sich zum Beispiel ein Operationsverstärker. Dieser Hinweis ist jedoch für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.2. Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral verwenden: $$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u = \frac{{\rm e}^{\hspace{0.03cm}a \cdot \hspace{0.03cm} u}}{a^2} \cdot (a \cdot u -1).$$

Fragebogen

1

Geben Sie die Impulsantwort $h_1(t)$ an. Zu welcher Zeit $t_1$ ist $h_1(t)$ auf die Hälfte seines Maximalwertes abgefallen?

$t_1$ = ms

2

Wie lautet das Ausgangssignal $y_1(t)$ für $x(t) = T · h_1(t)$? Welche Signalwerte treten zu den Zeiten $t = 0$ und $t = T$ auf?

$y_1(t = 0) =$

$y_1(t = T) =$

3

Berechnen Sie die Impulsantwort $h_2(t)$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses von 2). Zu welcher Zeit $t_2$ ist $h_2(t)$ maximal?

$t_2$ = ms

$h_2(t = t_2) =$ 1/s

4

Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn man am Eingang eine Sprungfunktion $x(t) = {\rm 2V} · γ(t)$ anlegt? Welche Signalwerte treten bei $t = T$ und $t = 5T$ auf?

$y_2(t = T) =$ V

$y_2(t = 5T) =$ V

Musterlösung

Musterlösung

1. Die Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich dem Ausgangssignal, wenn am Eingang ein Diracimpuls mit Gewicht 1 anliegt. Entsprechend der Musterlösung Z1.3 und obiger Skizze gilt: $$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$ Für den Zeitpunkt $t_1$ soll gelten: $$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$ 2. Das Eingangssignal $x(t)$ ist wie die Impulsantwort $h_1(t)$ ein exponentiell abfallender Impuls, jedoch dimensionslos. Somit gilt nach dem Faltungssatz: $$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \left[ h_1 (t) * h_1 (t) \right].$$ Die Faltung ist für einen spezifischen Zeitpunkt $t$ in nebenstehender Skizze verdeutlicht.

Nach Variablenumbenennung erhält man: $$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm} y_1(t) = T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$ 3. 4. 5. 6. 7.