Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems

1. Digitalsignalübertragung
2. Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
3. Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems

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Das Kapitel 1 führt in das weite Gebiet der Digitalsignalübertragung ein, wobei einige vereinfachende Annahmen getroffen werden: ein redundanzfreies binäres Sendesignal, keine Impulsinterferenzen. Obwohl die Beschreibung vorwiegend im Basisband erfolgt, lassen sich die Ergebnisse meist auch auf die digitalen Trägerfrequenzsysteme (Kapitel 1.5) übertragen. Im Einzelnen werden behandelt:

• der prinzipielle Aufbau und die Komponenten eines Basisbandübertragungssystems,
• die Definitionen von Bitfehlerwahrscheinlichkeit und Bitfehlerhäufigkeit (BER),
• die Eigenschaften der Nyquistsysteme, die eine impulsinterferenzfreie Übertragung erlauben,
• die Optimierung der binären Basisbandsysteme bei Leistungs- und Spitzenwertbegrenzung,
• die Verallgemeinerung der Ergebnisse auf Trägerfrequenzsysteme,
• die weitgehend gemeinsame Beschreibung von ASK, BPSK und 4–QAM.

Geeignete Literatur:

• Benedetto, S.; Biglieri, E.; Castellani, V.: Digital Transmission Theory. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1987.
• Hänsler, E.: Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen. 2. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1997.
• Hagenauer, J.: Nachrichtentechnik 1. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2002.
• Hanik, N.: Leitungsgebundene Übertragungstechnik. Vorlesungsmanuskript. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.
• Haykin, S.: Digital Communications. New York: John Wiley & Sons, 1988.
• Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.
• Lüke, H. D.: Signalübertragung. 8. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 2004.
• Proakis, J. G.: Digital Communications. 5. Auflage. New York: McGraw-Hill, 2001.
• Proakis, J. G.; Salehi, M.: Grundlagen der Kommunikationstechnik. 2. Auflage. München: Pearson Education, 2004.
• Söder, G.: Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik. Anleitung zum gleichnamigen Praktikum. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2000.
• Söder, G.; Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme. Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.
• Tröndle, K.; Söder, G.: Optimization of Digital Transmission Systems. Boston – London: Artech House, 1987.
  
  

Vereinfachtes Systemmodell

Im gesamten ersten Kapitel wird für das Digitalsystem von folgendem Blockschaltbild ausgegangen:

Im Vergleich zu einem analogen Übertragungssystem (siehe Buch Modulationsverfahren) erkennt man in diesem vereinfachten Systemmodell folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede:

• Das Blockschaltbild ist in beiden Fällen in genau gleicher Weise aufgebaut – bestehend aus Quelle, Sender, Kanal, Empfänger und Sinke – und auch die Signale werden gleich bezeichnet.
• Auch beim digitalen Übertragungssystem ist das Empfangssignal $r(t)$ aufgrund der Störungen zeit– und wertkontinuierlich. Das Sendesignal $s(t)$ kann zeit– und wertdiskret sein, muss aber nicht.
• Im Unterschied zum Buch Modulationsverfahren sind aber nun das Quellensignal q(t) und das Sinkensignal υ(t) stets Digitalsignale. Sie sind dementsprechend sowohl zeit– als auch wertdiskret.
• Alle Informationen über $q(t)$ und $υ(t)$ können somit auch durch die Quellensymbolfolge 〈$q$_ν〉 und die Sinkensymbolfolge 〈$υ$_ν〉 gemeinsam mit der Symboldauer $T$ ausgedrückt werden.
• Ein Digitalempfänger unterscheidet sich grundsätzlich vom Empfänger eines Analogsystems, da er zusätzlich eine Entscheidungskomponente zur Gewinnung des digitalen Sinkensignals $υ(t)$ aus dem analogen Empfangssignals $r(t)$ beinhalten muss.
• In den ersten drei Kapiteln dieses Buches betrachten wir die digitale Basisbandübertragung, was besagt, dass das Nachrichtensignal $q(t)$ ohne vorherige Frequenzumsetzung (Modulation mit einer Trägerschwingung) übertragen wird.
• Deshalb sind hier $s(t)$ und $r(t)$ Tiefpass–Signale und auch für den Kanal (inklusive der Störungen) muss stets von einer Tiefpass–Charakteristik ausgegangen werden.
  

Nachfolgend werden die Eigenschaften der einzelnen Systemkomponenten detailliert beschrieben, wobei die idealisierenden Voraussetzungen für Kapitel 1 geeignet berücksichtigt werden.

Beschreibungsgrößen der digitalen Quelle (1)

Die digitale Quelle erzeugt die Quellensymbolfolge 〈q_ν〉, die möglichst fehlerfrei zur Sinke übertragen werden soll. Im Allgemeinen entstammt jedes Symbol der zeitlichen Folge 〈q_ν〉 mit ν = 1, 2, ... einem Symbolvorrat {q_μ} mit μ = 1, ... , M, wobei M als Quellensymbolumfang oder auch als Stufenzahl bezeichnet wird. Für das erste Kapitel dieses Buches wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

• Die Quelle ist binär (M = 2) und die beiden möglichen Symbole sind L („Low”) und H („High”).
• Die Quellensymbole sind statistisch unabhängig voneinander, das heißt, die Wahrscheinlichkeit Pr(q_ν = q_μ), dass das ν–te Symbol der Folge 〈q_ν〉 gleich dem μ–ten Symbol des Symbolvorrates {q_μ} ist, hängt nicht von ν ab.
• Aufgrund dieser zwei Annahmen wird die digitale Quelle durch die Symbolwahrscheinlichkeiten p_L = Pr(q_ν = L) und p_H = Pr(q_ν = H) = 1– p_L vollständig beschrieben.
• Gilt weiterhin p_L = p_H = 0.5, so ist die Quelle redundanzfrei. Meist – jedoch nicht immer – wird im Kapitel 1 eine solche vorausgesetzt.
• Der zeitliche Abstand zweier Symbole sei T. Man bezeichnet diese Größe als die Symboldauer und den Kehrwert als die Symbolrate R = 1/T. Bei Binärquellen (M = 2) nennt man diese Größen auch Bitdauer bzw. Bitrate.
• Bei systemtheoretischer Betrachtungsweise der digitalen Basisbandübertragung beschreibt man das Quellensignal am besten durch eine Folge gewichteter und verschobener Diracimpulse:\[q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}. \]
• Hierbei bezeichnet man a_ν als die Amplitudenkoeffizienten. Im Falle der binären unipolaren Digitalsignalübertragung gilt:

\[a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\]

Entsprechend gilt bei einem bipolaren (oder antipodischen) System:

\[a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\]

Die nachfolgende Beschreibung erfolgt meist für diesen zweiten Fall. Hinweis zur Nomenklatur: In der Literatur wird meist das Symbol H mit 0 bezeichnet. Bei unipolarer Signalisierung wird dann das Symbol 0 durch den Amplitudenkoeffizienten „1” und das Symbol L durch den Zahlenwert „0” dargestellt. Um diesen unschönen Sachverhalt zu vermeiden, wird in LNTwww das Symbol 0 mit H bezeichnet, wobei „High” den Sachverhalt richtig ausdrückt.

Beschreibungsgrößen der digitalen Quelle (2)

:   Die Grafik zeigt vier binäre diracförmige Quellensignale im Bereich von –4 μs bis +4 μs, wobei jeweils die folgende Quellensymbolfolge zugrundeliegt\[\langle q_\nu \rangle = \langle ... \hspace{0.05cm}, \mathbf{L}, \mathbf{H}, \mathbf{H}, \mathbf{L},\hspace{0.15cm}\mathbf{H}, \hspace{0.15cm}\mathbf{L},\mathbf{L}, \mathbf{H},\mathbf{L},\hspace{0.05cm} ... \rangle \hspace{0.05cm} .\]

Das mittlere, etwas abgesetzte Symbol bezieht sich jeweils auf den Zeitpunkt t = 0.

Die zwei oberen Signale eignen sich zur Beschreibung unipolarer Systeme, die unteren für die bipolare (antipodische) Digitalsignalübertragung. Für die jeweils linken Grafiken ist T = 1 μs vorausgesetzt. Für die beiden rechten gilt dagegen T = 2 μs und damit die halbe Symbolrate.

Kenngrößen des digitalen Senders (1)

Der Sender eines digitalen Übertragungssystems hat die Aufgabe, aus dem (diracförmigen) Quellensignal ein geeignetes Sendesignal s(t) zu erzeugen, das die Nachricht der Quelle vollständig beinhaltet und an die Eigenschaften von Übertragungskanal, Störungen sowie aller technischen Empfangseinrichtungen angepasst ist. Außerdem sorgt der Sender für die Bereitstellung einer hinreichend großen Sendeleistung.

Als Beschreibungsgröße für den Sender verwenden wir den Sendegrundimpuls g_s(t). Aufgrund der Definition des Quellensignals q(t) als Summe von gewichteten und verschobenen Diracfunktionen lässt sich das Sendesignal mit den Amplitudenkoeffizienten a_ν in folgender Weise darstellen: \[s(t) = q(t) \star g_s(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.\] Häufig wird der Sendegrundimpuls g_s(t) als rechteckförmig mit

• der Impulshöhe s₀ = g_s(t = 0) und
• der (absoluten) Impulsdauer T_S

angenommen. Gilt T_S < T, so spricht man von einem RZ–Impuls („return–to–zero”), bei T_S = T von einem NRZ–Impuls („non–return–to–zero”).

Bei anderem Sendegrundimpuls, z.B. einem Gauß–, Trapez–, cos²– oder Wurzel–Nyquist–Impuls, verwendet man als Beschreibungsparameter anstelle der absoluten Impulsdauer T_S meist die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Impulsdauer : \[\Delta t_{\rm S} = \frac {\int ^{+\infty} _{-\infty} \hspace{0.15cm} g_s(t)\,{\rm d}t}{{\rm Max} \hspace{0.05cm}[g_s(t)]} \le T_{\rm S} \hspace{0.05cm}.\] Nur bei rechteckförmigem Sendegrundimpuls gilt Δt_S = T_S.

Unterscheidet sich die Amplitude des Sendegrundimpulses g_s(t) vom Maximalwert s₀ des Sendesignals s(t), so bezeichnen wir die Impulsamplitude mit A_S. Dies trifft zum Beispiel beim Gaußimpuls zu.

Das folgende Interaktionsmodul zeigt einige geläufige Grundimpulse und die dazugehörigen Spektren :

Impulse und deren Spektren

Kenngrößen des digitalen Senders (2)

: Die folgende Grafik zeigt drei Sendesignale. Zugrunde liegt stets die Quellensymbolfolge

\(\langle q_\nu \rangle = \langle ... \hspace{0.05cm}, \mathbf{L}, \mathbf{H}, \mathbf{H}, \mathbf{L},\hspace{0.15cm}\mathbf{H}, \hspace{0.15cm}\mathbf{L},\mathbf{L}, \mathbf{H},\mathbf{L},\hspace{0.05cm} ... \rangle \hspace{0.05cm}.\)

Die Grafik berücksichtigt

• ein bipolares Sendesignal s_A(t) mit NRZ–Rechteckimpulsen,
  
• ein bipolares Sendesignal s_B(t) mit RZ–Rechteckimpulsen, und
• ein unipolares Sendesignal s_C(t) mit Gaußimpulsen.

Bei den folgenden Beschreibungen wird meist das bipolare NRZ–Rechtecksignal s_A(t) vorausgesetzt. Die Dauer T_S des in der Grafik rot eingezeichneten Sendegrundimpulses g_s(t) ist hier gleich dem Abstand T zweier aufeinanderfolgender Impulse. Aus den weiteren Skizzen erkennt man:

• Beim RZ–Sendesignal s_B(t) unterscheidet sich die Impulsdauer T_S vom Impulsabstand T. Die Skizze gilt für das Tastverhältnis T_S/T = 0.5. Obwohl s_B(t) ebenfalls ein Binärsignal ist, gibt es hier drei mögliche Signalwerte, nämlich +s₀, –s₀ und 0. Von Vorteil ist, dass sich auch bei einer langen H– oder L–Folge kein Gleichsignal ergibt, wodurch die Taktsynchronisierung einfacher wird. Nachteilig bei RZ–Signalisierung ist das breitere Spektrum sowie die niedrigere Energie pro Symbol, was zu einer höheren Bitfehlerrate führt.
• Das Signal s_C(t) ist unipolar und verwendet einen gaußförmigen Grundimpuls g_s(t). Ein solches Signal findet man zum Beispiel bei optischen Systemen mit Intensitätsmodulation, da ein Laser oder eine LED prinzipiell keine negativen Impulse erzeugen kann und ein Rechteckimpuls technologisch schwieriger zu erreichen ist als die Gaußform.
• Im Falle eines „echten Gaußimpulses” gilt für die absolute Impulsdauer stets T_S → ∞. Die (normierte) äquivalente Impulsdauer ist hier mit Δt_S/T = 0.3 relativ klein gewählt, so dass der Maximalwert s₀ des Sendesignals etwa gleich der Impulsamplitude A_S ist. Bei breiteren Gaußimpulsen überlappen sich diese; die Näherung s₀ ≈ A_S trifft in diesem Fall nicht mehr zu.

Übertragungskanal und Störungen (1)

Der Übertragungskanal umfasst alle Einrichtungen, die zwischen dem Sender und dem Empfänger liegen. Hauptbestandteil ist das Übertragungsmedium, das zum Beispiel eine symmetrische Doppelleitung, ein Koaxialkabel, ein Lichtwellenleiter (eine Glasfaser) oder ein Funkfeld sein kann. Daneben beinhaltet der Übertragungskanal verschiedene aus Betriebsgründen notwendige Einrichtungen wie Stromversorgung, Blitzschutz und Fehlerortung.
Im allgemeinsten Fall müssen folgende physikalischen Effekte berücksichtigt werden:

• Die Übertragungseigenschaften können zeitabhängig sein, insbesondere bei sich bewegendem Sender und/oder Empfänger, wie es im Buch „Mobilkommunikation” im Detail beschrieben wird. In diesem Grundlagenbuch wird der Kanal stets als linear und zeitinvariant (LZI) angenommen.
• Die Eigenschaften des LZI–Kanals können frequenzabhängig sein, gekennzeichnet durch den Frequenzgang H_K(f). Bei leitungsgebundener Übertragung gilt stets H_K(f) ≠ const. und es kommt zu Verzerrungen, wie in Kapitel 3.1 behandelt.
• Dem Nutzsignal überlagern sich stochastische Störungen n(t), zum Beispiel das unvermeidbare thermische Rauschen, Impulsstörungen und Nebensprechstörungen anderer Teilnehmer.
  

Für Kapitel 1 wird stets H_K(f) = 1 vorausgesetzt, das heißt, dass die beiden erstgenannten Punkte vorerst ausgeschlossen werden. Somit gilt im Folgenden für das Signal am Kanalausgang stets:\[r(t) = s(t) + n(t) \] Die einfachste realistische Annahme für den Übertragungskanal eines Nachrichtenübertragungssystems ist Additive White Gaussian Noise, wie bereits im Kapitel 3.5 des Buches „Stochastische Signaltheorie” und im Kapitel 1.2 des Buches „Modulationsverfahren” ausgeführt wurde.

Auf der nächsten Seite wird dieses Modell im Detail erklärt.

Übertragungskanal und Störungen (2)

Das AWGN–Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen:

• Der Buchstabe „N” weist darauf hin, dass durch das AWGN–Modell ausschließlich Rauschen („Noise”) berücksichtigt wird. Verzerrungen werden durch dieses einfache Modell nicht erfasst.
• Obwohl Rauschstörungen im Allgemeinen durch eine Vielzahl von Rauschquellen entlang der gesamten Übertragungsstrecke hervorgerufen werden, können diese bei linearen Systemen durch einen einzigen additiven Rauschterm am Kanalausgang berücksichtigt werden (Buchstabe „A”).
• Das Rauschen beinhaltet alle Frequenzen gleichermaßen; es besitzt ein konstantes, weißes („W”) Leistungsdichtespektrum (LDS) und eine diracförmige Autokorrelationsfunktion (AKF):

\[{\it \Phi}_n(f) = \frac{N_0}{2}\hspace{0.15cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.15cm} \varphi_n(\tau) = \frac{N_0}{2} \cdot \delta (\tau)\hspace{0.05cm}.\]

Der Faktor 1/2 in diesen Gleichungen berücksichtigt die zweiseitige Spektraldarstellung.

• Beispielsweise gilt bei thermischem Rauschen für die physikalische Rauschleistungsdichte (das heißt: einseitige Betrachtungsweise) mit der Rauschzahl F ≥ 1 und der absoluten Temperatur θ:

\[{N_0}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta , \hspace{0.3cm}k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23} \hspace{0.2cm}[[:Vorlage:\rm Ws]]/[[:Vorlage:\rm K]]\hspace{0.2cm}{\rm (Boltzmann-Konstante)}\hspace{0.05cm}.\]

• Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben. Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf B zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:

\[N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.\]

• Das Rauschsignal n(t) besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF), was durch den Buchstaben „G” zum Ausdruck gebracht wird:\[f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it n^{\rm 2}}/{(2\sigma_n^2)}}.\]

Wir möchten Sie hier gerne auf ein dreiteiliges Lernvideo aus dem Buch „Stochastische Signaltheorie” hinweisen, in dem die Eigenschaften des AWGN–Kanals ausführlich beschrieben werden:

Der AWGN–Kanal – Teil 1 (Dauer 6:00)
Der AWGN–Kanal – Teil 2 (Dauer 5:15)
Der AWGN–Kanal – Teil 3 (Dauer 6:15)

Empfangsfilter und Schwellenwertentscheider (1)

Der einfachste Empfänger bei Binärübertragung über den AWGN–Kanal besteht aus

• einem Empfangsfilter mit dem Frequenzgang H_E(f) und
• einem Schwellenwertentscheider zur Gewinnung des Binärsignals.

Diese Empfängerstruktur ist wie folgt zu begründen:

• Das Signal d(t) nach dem Empfangsfilter kann zumindest gedanklich wie folgt aufgeteilt werden: Der Anteil d_S(t) ist auf das Nutzsignal s(t) zurückzuführen, der Anteil d_N(t) auf das Rauschen n(t). Die beiden Indizes stehen hierbei für S: Signal und N: Noise. Mit der Impulsantwort h_E(t) als die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs H_E(f) gilt:

\[delta_{\rm S}(t) & = & s(t) \star h_{\rm E}(t)\hspace{0.05cm}, \\ d_{\rm N}(t) & = & n(t) \star h_{\rm E}(t)\hspace{0.05cm}.\]

• Das weiße Rauschen n(t) am Empfängereingang besitzt theoretisch eine unendliche große Leistung (praktisch: eine unnötig große Leistung). Durch den Tiefpass mit dem Frequenzgang H_E(f) wird diese auf den quadratischen Erwartungswert des Detektionsstörsignals („Varianz”) begrenzt:

\[\sigma_d^2 = {\rm E}[d_{\rm N}(t)^2] \hspace{0.05cm}.\]

• Allerdings ist zu beachten, dass der Tiefpass H_E(f) nicht nur das Störsignal n(t), sondern auch das Nutzsignal s(t) verändert. Dadurch werden die einzelnen Sendeimpulse verbreitert und in ihrer Amplitude vermindert. Nach den Voraussetzungen für dieses Kapitel muss sichergestellt werden, dass es nicht zu Impulsinterferenzen kommt.
• Aufgabe des Entscheiders ist es, aus dem wert– und zeitkontinuierlichen Detektionssignal d(t) das wert– und zeitdiskrete Sinkensignal υ(t) zu erzeugen, das die Nachricht des Sendesignals s(t) „möglichst gut” wiedergeben sollte. Die Funktionsweise des (binären) Schwellenwertentscheiders wird im Beispiel auf der nächsten Seite beschrieben.

Empfangsfilter und Schwellenwertentscheider (2)

: Die obere Grafik zeigt rot das rechteckförmige, auf ±1 normierte Sendesignal s(t), das von additivem Rauschen n(t) überlagert ist. Blau dargestellt ist das Empfangssignal r(t) = s(t) + n(t).

Zu dieser Grafik ist weiter anzumerken:

• Nach dem Empfangsfilter mit rechteckförmiger Impulsantwort der Dauer T ergibt sich das im mittleren Bild dargestellte Signal d(t). Der Anteil d_S(t), der ausschließlich auf das Sendesignal s(t) zurückgeht, hat in diesem Sonderfall den in der mittleren Grafik rot gepunktet dargestellten, abschnittsweise linearen Verlauf. Die Differenz d(t) – d_S(t) ist der Rauschanteil d_N(t), der vom AWGN–Term n(t) herrührt.
• Der anschließende Schwellenwertentscheider wertet das Detektionssignal d(t) aus. Dazu vergleicht er die Detektionsabtastwerte zu den äquidistanten Detektionszeitpunkten – in der Grafik durch gelbe Pfeile markiert – mit dem Schwellenwert E = 0 und setzt entsprechend das Sinkensignal υ(t) im Bereich ν · T ... (ν + 1) · T auf +1 oder –1, je nachdem, ob der Detektionsabtastwert d(νT) größer oder kleiner ist als die Entscheiderschwelle E.
• Trifft wie im dargestellten Beispiel der Entscheider stets die richtige Entscheidung, so ist sein Ausgangssignal <nobr>υ(t) = s(t – T/2).</nobr> Die Laufzeit von einer halben Symboldauer (T/2) ist darauf zurückzuführen, dass das Detektionssignal d(t) stets in Symbolmitte entschieden wird, die Bereitstellung des Sinkensignals υ(t) aber aus Kausalitätsgründen erst danach erfolgen kann.