Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit

1. Digitalsignalübertragung
2. Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren
3. Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit

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Optimale Entscheidung bei binärer Übertragung (1)

Wir gehen hier von einem Übertragungssystem aus, das wie folgt charakterisiert werden kann: r = s + n:

• Der das Übertragungssystem vollständig beschreibende Vektorraum wird von N = 2 zueinander orthogonalen Basisfunktionen φ₁(t) und φ₂(t) aufgespannt.
  

• Demzufolge ist auch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des additiven und weißen Gaußschen Rauschens zweidimensional anzusetzen, gekennzeichnet durch den Vektor n = (n₁, n₂).
  

• Es gibt nur zwei mögliche Sendesignale (M = 2), die durch die beiden Vektoren s₀ = (s₀₁, s₀₂) und s₁ = (s₁₁, s₁₂) beschrieben werden:

\[s_0(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm},\]

\[s_1(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} s_{11} \cdot \varphi_1(t) + s_{12} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.\]

• Die beiden Nachrichten m₀ ⇔ s₀ und m₁ ⇔ s₁ sind nicht notwendigermaßen gleichwahrscheinlich.
  

• Aufgabe des Entscheiders ist es nun, für den gegebenen Empfangsvektor r einen Schätzwert nach der MAP–Entscheidungsregel anzugeben. Diese lautet im vorliegenden Fall:

\[\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\boldsymbol{ \rho } |m_i ) ] \hspace{0.15cm} \in \hspace{0.15cm}\{ m_i\}\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} \boldsymbol{ r } = \boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \rho_2) \hspace{0.05cm}.\]

Im hier betrachteten Sonderfall N = 2 und M = 2 partitioniert der Entscheider den zweidimensionalen Raum in die zwei disjunkten Gebiete I₀ und I₁, wie in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht. Liegt der Empfangswert in I₀, so wird als Schätzwert m₀ ausgegeben, andernfalls m₁.

Die Herleitung und Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Optimale Entscheidung bei binärer Übertragung (2)

Beim AWGN–Kanal und M = 2 lautet somit die Entscheidungsregel: Man entscheide sich immer dann für die Nachricht m₀, falls folgende Bedingung erfüllt ist:

\[{\rm Pr}( m_0) \cdot {\rm exp} \left [ - \frac{1}{2 \sigma_n^2} \cdot || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_0 ||^2 \right ] > {\rm Pr}( m_1) \cdot {\rm exp} \left [ - \frac{1}{2 \sigma_n^2} \cdot || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_1 ||^2 \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Die Grenzlinie zwischen den beiden Entscheidungsregionen I₀ und I₁ erhält man, wenn man in obiger Gleichung das Größerzeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt und die Gleichung etwas umformt:

\[|| \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_0 ||^2 - 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm}[{\rm Pr}( m_0)] = || \boldsymbol{ \rho } - \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm}[{\rm Pr}( m_1)] \]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - || \boldsymbol{ s }_0 ||^2 + 2 \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.\]

Aus dieser Gleichung erkennt man:

• Die Grenzkurve zwischen den Regionen I₀ und I₁ ist eine Gerade, da die Bestimmungsgleichung linear im Empfangsvektor ρ = (ρ₁, ρ₂) ist.
  

• Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen verläuft die Grenze genau in der Mitte zwischen s₀ und s₁ und um 90° verdreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den Sendepunkten (linke Grafik):

\[|| \boldsymbol{ s }_1 ||^2 - || \boldsymbol{ s }_0 ||^2 = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.\]

• Für Pr(m₀) > Pr(m₁) ist die Entscheidungsgrenze in Richtung des unwahrscheinlicheren Symbols (s₁) verschoben, und zwar um so mehr, je größer die AWGN–Streuung σ_n ist.
  
  

Die grün–durchgezogene Entscheidungsgrenze im rechten Bild sowie die Entscheidungsregionen I₀ (rot) und I₁ (blau) gelten für die Streuung σ_n = 1 und die gestrichelten Grenzlinien für σ_n = 0 bzw. σ_n = 2.

Gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Fehlerwahrscheinlichkeit (1)

Wir gehen weiterhin von einem Binärsystem aus (M = 2), betrachten aber nun den einfachen Fall, dass dieses durch eine einzige Basisfunktion beschrieben werden kann (N = 1). Die Fehlerwahrscheinlichkeit hierfür wurde bereits in Kapitel 1.2 berechnet.

Mit der für Kapitel 4 gewählten Nomenklatur und Darstellungsform ergibt sich folgende Konstellation:

• Der Empfangswert r = s + n – nunmehr ein Skalar – setzt sich aus dem Sendesignal s ∈ {s₀, s₁} und dem Rauschterm n zusammen. Die Abszisse ρ bezeichnet eine Realisierung von r.
  

• Die Abszisse ist auf die Bezugsgröße E^1/2 normiert, wobei die Normierungsenergie E keine herausgehobene physikalische Bedeutung hat.
  

• Der Rauschterm n ist gaußverteilt mit dem Mittelwert 0 und der Varianz σ_n². Die Wurzel aus der Varianz (σ_n) wird als Effektivwert oder Streuung bezeichnet.
  

• Die Entscheidergrenze G unterteilt den gesamten Wertebereich von r in die beiden Teilbereiche I₀ (in dem unter anderem s₀ liegt) und I₁ (mit dem Signalwert s₁).
  

• Ist ρ > G, so liefert der Entscheider den Schätzwert m₀, andernfalls m₁. Hierbei ist vorausgesetzt, dass die Nachricht m_i mit dem Sendesignal s_i eineindeutig zusammenhängt: m_i  ⇔  s_i.

Die Grafik zeigt die bedingten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen p_r|m0 und p_r|m1 für den hier betrachteten AWGN–Kanal, wobei gleiche Symbolwahrscheinlichkeiten vorausgesetzt sind: Pr(m₀) = Pr(m₁) = 0.5. Dementsprechend ist die (optimale) Entscheidergrenze G = 0.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Ist m = m₀ und damit s = s₀ = 2 · E ^1/2, so kommt es nur dann zu einer Fehlentscheidung, wenn η, die Realisierung der Rauschgröße n, kleiner ist als –2 · E ^1/2.
  

• In diesem Fall ist ρ < 0, wobei ρ eine Realisierung des Empfangswertes r bezeichnet.
  
  

Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Fehlerwahrscheinlichkeit (2)

Kommen wir nun zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit:

• Bei AWGN–Rauschen mit dem Effektivwert (Streuung) σ_n erhält man in diesem Fall, wie bereits in Kapitel 1.2 mit anderer Nomenklatur berechnet wurde:

\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_0) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{G = 0} p_{r \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0 } ({ \rho } |m_0 ) \,{\rm d} \rho = \int_{-\infty}^{- s_0 } p_{{ n} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0 } ({ \eta } |m_0 ) \,{\rm d} \eta = \]

\[\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.1cm}\int_{-\infty}^{- s_0 } p_{{ n} } ({ \eta } ) \,{\rm d} \eta = \int_{ s_0 }^{\infty} p_{{ n} } ({ \eta } ) \,{\rm d} \eta = {\rm Q} \left ( {s_0 }/{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.\]

• Bei der Herleitung der Gleichung wurde berücksichtigt, dass das AWGN–Rauschen η unabhängig vom Signal (m₀ oder m₁) ist und eine symmetrische WDF besitzt. Verwendet wurde zudem das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral

\[{\rm Q}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u \hspace{0.05cm}.\]

• Entsprechend gilt für m = m₁   ⇔   s = s₁ = –2 · E ^1/2:

\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_1) = \int_{0}^{\infty} p_{{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_1 } ({ \rho } |m_1 ) \,{\rm d} \rho = \int_{- s_1 }^{\infty} p_{{ n} } (\boldsymbol{ \eta } ) \,{\rm d} \eta = {\rm Q} \left ( {- s_1 }/{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.\]

• Mit dem Abstand d = s₁ – s₀ der zwei Signalraumpunkte lassen sich die beiden Ergebnisse zusammenfassen, wobei noch Pr(m₀) + Pr(m₁) = 1 zu berücksichtigen ist:

\[{\rm Pr}({ \cal E} | m_0) = {\rm Pr}({ \cal E} | m_1) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right )\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}({ \cal E} ) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Pr}({ \cal E} | m_0) + {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Pr}({ \cal E} | m_1)=\]

\[ \hspace{0.2cm}\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \left [ {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) \right ] \cdot {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right ) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right ) \hspace{0.05cm}.\]

Diese Gleichung gilt unter der Voraussetzung G = 0 ganz allgemein, also auch für Pr(m₀) ≠ Pr(m₁). Bei nicht gleichwahrscheinlichen Symbolen lässt sich allerdings die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit durch eine andere Entscheidergrenze verkleinern.

Hinweis: Die hier genannte Gleichung gilt auch dann, wenn die Signalraumpunkte keine Skalare sind, sondern durch die Vektoren s₀ und s₁ beschrieben werden. Der Abstand d ergibt sich dann als die Norm des Differenzvektors:

\[d = || \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_1 - \boldsymbol{ s}_0 \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}.\]

Gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Fehlerwahrscheinlichkeit (3)

Betrachten wir nun nochmals die Signalraumkonstellation von der ersten Seite dieses Kapitels mit den Werten s₀/E ^1/2 = (3.6, 0.8) und s₁/E ^1/2 = (0.4, 3.2). Hier beträgt der Abstand der Signalraumpunkte

\[d = || s_1 - s_0 || = \sqrt{E \cdot (0.4 - 3.6)^2 + E \cdot (3.2 - 0.8)^2} = 4 \cdot \sqrt {E} \hspace{0.05cm},\]

also der genau gleiche Wert wie für s₀/E^1/2 = (2, 0) und s₁/E^1/2 = (–2, 0). Die AWGN–Rauschvarianz beträgt jeweils σ_n² = N₀/2.

Die Abbildungen zeigen diese beiden Konstellationen und lassen folgende Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede erkennen:

• Wie bereits gesagt, sind sowohl der Abstand der Signalpunkte von der Entscheidungsgeraden (d/2 = 2 · E^1/2) als auch der AWGN–Kennwert σ_n in beiden Fällen gleich.
  

• Daraus folgt: Die beiden Anordnungen führen zur gleichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn man den Parameter E (eine Art Normierungsenergie) konstant lässt:

\[{\rm Pr} ({\rm Symbolfehler}) = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right )\hspace{0.05cm}.\]

• Bei gegebener mittlerer Energie pro Symbol (E_s) ist jedoch die linke Konstellation (E_s = 4 · E) der rechten (E_s = 24 · E) deutlich überlegen: Die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit weniger Energie.
  
  

Auf diesen Sachverhalt wird in der Aufgabe Z4.6 noch im Detail eingegangen. Die Kreise in obiger Grafik veranschaulichen die zirkuläre Symmetrie von 2D–AWGN–Rauschen.

Nicht gleichwahrscheinliche Binärsymbole – Schwellenoptimierung (1)

Gilt Pr(m₀) ≠ Pr(m₁), so kann man durch eine Verschiebung der Entscheidungsgrenze G eine etwas kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erreichen. Die nachfolgenden Ergebnisse werden ausführlich in der Musterlösung zur Aufgabe A4.7 hergeleitet:

• Bei ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten liegt die optimale Entscheidungsgrenze G_opt zwischen den Regionen I₀ und I₁ näher beim unwahrscheinlicheren Symbol.
  

• Die normierte optimale Verschiebung gegenüber der Grenze G = 0 bei gleichwahrscheinlichen Symbolen beträgt

\[\gamma_{\rm opt} = \frac{G_{\rm opt}}{s_0 } = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)} \hspace{0.05cm}.\]

• Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist dann gleich

\[{\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left[ {d}/(2{\sigma_n}) \cdot (1 - \gamma_{\rm opt}) \right ] + {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left [ {d}/(2{\sigma_n}) \cdot (1 + \gamma_{\rm opt}) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

: Für das Folgende gelte

\[\boldsymbol{ s }_0 = (2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.1cm} 0), \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (- 2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.1cm} 0), \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} d = 2 \cdot \sqrt{E}, \hspace{0.2cm} \sigma_n = \sqrt{E} \hspace{0.05cm}.\]

Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen ergibt sich die optimale Entscheidergrenze zu G_opt = 0. Damit erhält man für die Fehlerwahrscheinlichkeit:

\[{\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( {d}/(2{\sigma_n}) \right ) = {\rm Q} (2) \approx 2.26\% \hspace{0.05cm}.\]

Die Beschreibung der unteren Grafik folgt auf der nächsten Seite.