Aufgabe 4.7: Gewichtete Summe und Differenz

Die Zufallsgrößen u und υ seien statistisch voneinander unabhängig, jeweils mit Mittelwert m und Varianz σ². Beide Größen besitzen gleiche WDF und VTF; über den Verlauf dieser Funktionen sei zunächst nichts bekannt.

Es werden nun zwei neue Zufallsgrößen x und y entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:

$$x = A \cdot u + B \cdot v,$$

$$y= A \cdot u - B \cdot v.$$

Hierbei bezeichnen A und B (beliebige) konstante Werte. Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte m = 0, σ = 1, A = 1 und B = 2.

Bei der Teilaufgabe (5) wird vorausgesetzt, dass u und υ jeweils gaußverteilt mit Mittelwert m = 1 und Streuung σ = 0.5 seien. Für die Konstanten gelte A = B = 1.

Für die Aufgabe (6) seien die Zufallsgrößen u und υ symmetrisch zweipunktverteilt auf ±1:

$${\rm Pr}(u=1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$

Außerdem gelte weiterhin A = B = 1.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Drehung des Koordinatensystems.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Gegeben sind die Näherungen ${\rm Q}(2.3) \approx 0.01$ und ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$ für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral.
Nachfolgend gibt es Hyperlinks zu zwei Lernvideos, die diese Thematik behandeln:

Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen

Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3.

Fragebogen

$m_x$ =

$\sigma_x$ =

$m_y$ =

$\sigma_y$ =

$\mu_\text{xy}$ = -

$\rho_\text{xy}$ = -

	Für B = 0 sind die Zufallsgrößen x und y streng korreliert.
	Es gilt ρ_xy(–B/A) = –ρ_xy(B/A).
	Im Grenzfall B/A → ∞ sind x und y streng korreliert.
	Für A = B sind die Zufallsgrößen x und y unkorreliert.

	Die Zufallsgrößen x und y sind unkorreliert.
	Die Zufallsgrößen x und y sind statistisch unabhängig.

	Die Zufallsgrößen x und y sind unkorreliert.
	Die Zufallsgrößen x und y sind statistisch unabhängig.

Musterlösung

1. Da die Zufallsgrößen u und υ mittelwertfrei sind (m = 0), ist auch die Zufallsgröße x mittelwertfrei: m_x = (A + B) · m = 0. Für die Varianz und die Streuung gelten:

$$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$

2. Da u und υ die gleiche Streuung besitzen, gilt auch σ_y = σ_x ≈ 2.236. Wegen m = 0 gilt zudem m_y = 0. Bei mittelwertbehafteten Zufallsgrößen u und υ ergäbe sich für m_y = (A – B) · m dagegen ein anderer Wert als für m_x = (A + B) · m.

3. Wir gehen hier von dem allgemeineren Fall m ≠ 0 aus. Dann gilt für das gemeinsame Moment:

$$m_{xy} = {\rm E} [x \cdot y ] = {\rm E} [(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)] . $$

Nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte folgt daraus:

$$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} [u^2 ] - B^2 \cdot {\rm E} [v^2 ] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$

Die Kovarianz ergibt sich dann zu

$$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}= \\ = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2 = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$

Mit A = 1, B = 2, σ = 1 erhält man μ_xy = –3, unabhängig vom Mittelwert m der Größen u und υ.

4. Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu

$$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2} $$

$$\Rightarrow \rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$

Mit B/A = 2 folgt daraus ρ_xy = –0.6.

5. Aus B = 0 folgt ρ_xy = 1 (strenge Korrelation). Aus den Gleichungen für x und y erkennt man weiter, dass in diesem Fall x und y identische Zufallsgrößen sind.

Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: Für A = 1 und B = –2 ergibt sich ebenfalls ρ_xy = –0,6. Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der unter (d) berechneten Gleichung B/A nur quadratisch auftritt.

Ist B sehr viel größer als A, so werden sowohl x als auch y fast ausschließlich durch die Zufallsgröße υ bestimmt und es ist y ≈ –x. Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten ρ_xy = –1. Dagegen ergibt sich für B/A = 1 stets der Korrelationskoeffizient ρ_xy = 0 und damit die Unkorreliertheit zwischen x und y.

Richtig sind somit die Aussagen 1, 3 und 4.

6. Bei A = B sind x und y stets (d. h. bei jeder beliebigen WDF der Größen u und υ) unkorreliert. Die neuen Zufallsgrößen x und y sind ebenfalls gaußverteilt. Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabhängigkeit und umgekehrt. Also sind beide Aussagen richtig.

7. Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit A = B = 1 auch hier zu ρ_xy = 0. Das heißt, dass x und y unkorreliert sind. Dagegen erkennt man aus der nachfolgend skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabhängigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist. Vielmehr gilt: f_xy(x, y) ≠ f_x(x) · f_y(y). Hier ist also nur die Aussage 1 zutreffend.